15．（2018?泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为 4
．
【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC?cos45°=2
，进而得出⊙O的直径为4
．
【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形， 又∵BC=4，
∴BO=CO=BC?cos45°=2∴⊙O的直径为4故答案为：4
．
，
，
16．（2018?大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 m＜
．
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标
轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得， ﹣5=12k， ∴k=﹣由y=﹣y=﹣
；
x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为
x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示） 当x=0时，y=m；当y=0时，x=∴A（即OA=
m，0），B（0，m）， m，OB=m；
m，
在Rt△OAB中， AB=
过点O作OD⊥AB于D， ∵S△ABO=OD?AB=OA?OB， ∴OD?
=×
， ，
＜6，解得m＜
．
，
∵m＞0，解得OD=
由直线与圆的位置关系可知故答案为：m＜
．
三．解答题（共4小题）
17．（2018?福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB． （1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=
DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形BCDH是平行四边形， ∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=∴tan∠ACB=
=DH， ，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC=AC， ∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°， ∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH=AC， ∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20° ∵∠AOB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
18．（2018?温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上． （1）求证：AE=AB．