（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．
【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；
（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB=
=，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED=∠ACD，AE=AC， ∵∠ABD=∠AED， ∴∠ABD=∠ACD， ∴AB=AC， ∴AE=AB；
（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，
∵AB=AE，BE=2， ∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=， ∴cos∠ABE=cos∠ADB=，
∴=．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴BC=3
19．（2018?天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线； （2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1，
∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴
=
=
，即
=
=，
∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=
．
20．（2018?泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
ABC的平分线（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 【解答】解：（1）DE与⊙O相切， 理由：连接DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3∴BD=
，
=6，
∵sin∠DBF==， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°=
=
=
，
∴DO=2则FO=
， ，
﹣×
×3=2π﹣
．
故图中阴影部分的面积为：