r(t)e(t)10?1m(t)1s(s?1)(s?2)c(t)（a） r(t)e(t)0m(t) 1s(s?1)(s?2)c(t)（b） 【解】：（a）
题2-7-2图 线性部分的开环传递函数为：Gk(s)?105?
s(s?1)(s?2)s(s?1)(0.5s?1)4M4， ??E?E理想继电器的描述函数为 N(E)?则负倒描述函数为
?4M?1?E?????? ?。 ??E?N(E)4???1 AAIm???0Re在同一坐标系绘制线性环节的Nyquist曲线和非线性部分的负倒描述函数曲线如题2-7-2解图（a）所示。当E?0时，?1N?0；E??时，?1N???。可以看出在A处产生交点，且交点处具有稳定的自持振荡的特性。
计算A点处的自持振荡频率?A：
?Gk(j?)?????90??tg?1?A?tg?10.5?A??180?
A??0?（a） Im???0Retg?1?A?tg?10.5?A?90???A?2
??0? 计算A点处的自持振荡幅值EA：
G(j?)w?w?A52?2?1?0.25?2?1?5 3 ?（b）
?EA4（b） ??520?EA??2.12 33?线性部分的开环传递函数为：Gk(s)?理想继电器的描述函数为N(E)?则负倒描述函数为?0.5
s(s?1)(0.5s?1)32E， 414??2。 N(E)3E在同一坐标系绘制线性环节的Nyquist曲线和非线性部分的负倒描述函数曲线如题2-7-2解图（b）所示。可以看出在A处产生交点，且交点处呈不稳定特性。
这种振荡随时间可能发散或可能收敛。
2-7-3 非线性系统如题2-7-3图所示。试求：
（1）K在何范围取值使系统稳定。 （2）K=10时系统产生自振荡的振幅和频 题2-7-3图 r(t)e(t)?111?1m(t)Ks(0.2s?1)(0.5s?1)c(t)率。 【解】：（1）
非线性环节的描述函数
?2M??N(E)???????12???sin?1???1????2?EE?E2?????1111??sin?1?2?(E?1)? EEE???(E?1)负倒描述函数为
????1111??sin?1?2?1??????2?EEE???N(E)????1?1 (E?1)(E?1)Im
题2-7-3解图 ??0??K7???0Re?1当E?1时，?1N(E)??1；E??时，?1N(E)???。
在同一坐标系绘制线性环节的Nyquist曲线和非线性部分的负倒描述函数曲线如题2-7-3解图所示。
显然，当线性部分的开环增益足够小时，即在与实轴交点处的幅值小于1，则
两条曲线不产生交点。根据稳定判据系统稳定。
K值的计算过程如下：
?Gk(j?1)??90??tg?10.2?1?tg?10.5?1??180? ?tg?10.2?1?tg?10.5?1?90???1?10 G(j?1)?K???10?1?0.04?21?0.25?2K 7系统稳定时G(j?1)?1，即K?7。 （利用时域稳定判据可以检验其正确性） （2）
当K?10时，显然两条曲线相交，且交点处产生稳定的自持振荡，振荡频率为
?1?10，振荡幅值为
G(j?)??10?10 7令
1??111?????sin?1?1?2?N(E)2?EEE????1??10 7得E?1.71。
2-7-4 试用相平面分析法，分析图4所示非线性系统分别在??0,??0,??0情况下，相轨迹的特点。 题2-7-4图 1??sr(t)e(t)M0?Mm(t)1s2c(t)【解】：
c(s)1?2m(s)s??(t)?m(t) ?c?M[e(t)?0,]m(t)??
??M[e(t)?0,]e(s)?(t)?c(t)?e(t) ??(1??s)???cc(s)??c?0。 ?平面上的开关线?c在c?c
对应的相轨迹方程为
?(t)?c(t)?0]?M[?c??(t)?? c??M[?c(t)?c(t)?0]??dcdc??(t)?c?dcdt??dc??Mdc?c?2?Mc?a[?c?(t)?c(t)?0]?c ??2?dc???Mdc?c???Mc?b[?c?(t)?c(t)?0]??c 相轨迹为两簇抛物线。
??0时，开关线方程为c(t)?0。根据相轨迹方程在不同线性区域内绘制相平面图如题2-7-4解图（1）所示。
自持振荡特性，振荡频率和周期由初始条件确定。
?(t)?c(t)?0???0?，即原开关线顺时针方向转动了??0时，开关线方程为?carctan1?度。相轨迹方程仍为
??????2?Mc?a[c(t)??c?(t)?0]c?2??Mc?b[c(t)??c?(t)?0]c
根据相轨迹方程在不同线性区域内绘制相平面图如题2-7-4解图（2）所示。无论初始条件如何，增幅振荡特性，系统不稳定。
?(t)?c(t)?0???0?，即原开关线逆时针方向转动了??0时，开关线方程为?c?c? c?c 0c cc（1） （2） （3） arctan1?度。根据相轨迹方程在不同线性区域内绘制相平面图如题2-7-4解图（3）题2-7-4解图 所示。无论初始条件如何，衰减振荡特性，系统稳定。
??e平面的相轨迹族，并分析系统的2-7-5 非线性系统如图所示。试概略绘制e K?1m(t)1r(t)e(t)?11s(s?1)c(t)2s 题2-7-5图 特性，假定系统输出为零初始条件，输入r(t)?a?1(t)(a?0)。
【解】：对上述方框图实施等效变换得下列方框图 对应的相轨迹方程为
?e?1(e?1)???(t)?3c?(t)?m(t)??0(e?1)c
??e?1(e??1)?(0)?r?(0)?c?(0)?0 e(t)?r(t)?c(t)?e(0)?r(0)?c(0)?a?0?a,e???c?e????c??，e?e?平面相轨迹方程为 t?0?时，e(t)?a?c(t),e r(t)e(t)?1K?1m(t)11s(s?3)c(t)题2-7-5解图（1） ???3e??e?1?e?1????3e??e?1?e?1??e1区??e?????3e??0?e?1????3e??0?e?1? ??e2区??e????????3e??e??1?e??1?3区??e?3e?e?1?e??1??e开关线为：e??1,根据微分方程特征根的分布规律得相轨迹的形式为 1区：相轨迹是以（1，0）为中心点的稳定节点。 3区：相轨迹是以（-1，0）为中心点的稳定节点。 2区：相轨迹是直线。
显然，系统是稳定的，对于不同的初始条件，系统的稳态误差不同。当a?1 时，稳态误差等于1。 2-7-6 系统方框图如图所示，试绘制c?ⅢⅡ?11r( t)?0ae(t)?ee5m(t)1 Ⅰ1s?111sc(t)?1题2-7-5解图（2） 题2-7-6图 ?c?n标幺化相平面。