与函数有关的选择题压轴题
2019年与函数有关的选择题压轴题，考点涉及：一次函数性质；反比例函数性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式；相似三角形的判定和性质；轴对称的性质.数学思想涉及：数形结合；化归；方程.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者.
【题1】（2014?济宁第8题）“如果二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、
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m、n的大小关系是（ ）
A． m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b 【考点】：抛物线与x轴的交点． 【分析】：依题意画出函数y=（x﹣a） （x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解． 【解答】：解：依题意，画出函数y=（x﹣a） （x﹣b）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）． 方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点． 由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n． 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n． 综上所述，可知m＜a＜b＜n． 故选A． 第1页 共9页
【点评】：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题 时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 【题2】（2014年山东泰安第20题）二次函数y=ax+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的
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x与y的部分对应值如下表：
X y 下列结论： （1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax+（b﹣1）x+c=0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（ ） A．4个
B． 3个
C． 2个
D． 1个
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﹣1 ﹣1 0 3 1 5 3 3 【分析】：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax+bx+c开口向下，
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a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
∵二次函数y=ax+bx+c开口向下，且对称轴为x=的增大而减小，故（2）错误；
∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax+（b﹣1）
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=1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值
x+c=0的一个根，故（3）正确；
∵x=﹣1时，ax+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
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故选B．
【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【题3】（2014年山东烟台第11题）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大． 其中正确的结论有（ ）
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A．1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
【分析】：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣
3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．
【点评】：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），
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对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与
2y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b﹣4ac＞0
时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【题4】（2014?威海第11题）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）
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A． 1
【考点】： 【分析】： 二次函数图象与系数的关系． 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】： 解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确； 该抛物线的对称轴是：当x=1时，y=2a+b+c， ∵对称轴是直线x=﹣1， ∴又∵c=0， ∴y=4a，故③错误； ，b=2a， ，直线x=﹣1，故②正确； B． 2 C． 3 D． 4 x=m对应的函数值为y=am2+bm+c， x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值， ∴a﹣b+c＜am+bm+c，即a﹣b＜am+bm， ∵b=2a， 第4页 共9页
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∴am+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确． 故选：C． 【点评】： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
【题5】（2014?宁波第12题）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ） A． （﹣3，7） 【考点】： 【分析】： B． （﹣1，7） C． （﹣4，10） D． （0，10） 222二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化－对称． 把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【解答】： 解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x+4x+10上， ∴（a﹣2b）+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab， 22a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab， （a+2）+4（b﹣1）=0， ∴a+2=0，b﹣1=0， 解得a=﹣2，b=1， ∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4， 2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10， ∴点A的坐标为（﹣4，10）， ∵对称轴为直线x=﹣=﹣2， 22∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）． 故选D． 【点评】： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键． 第5页 共9页