榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A．
A??x?2x2?6x?5?x2?，
B??xx??2?，则AUB?（）
??2,?1? B．??2,?1? C．??5,??? D．??5,???
z?1?5i3?2i，则z?（）
2．若复数
A．1 B．2 C．3 D．2 3．已知R上的奇函数
f?x?满足：当x?0时，
f?x??log2?1?x?，则
f?f?7???（）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情
况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）
A．12 B．15 C．20 D．21
5．已知
??????0,?2????10tan2??sin?????4?（） ?，?10，则
11?A．7 B．7 C．7 D．-7
6．已知实数
x,y满足
?x?4y?2?0??4x?y?7?0?x?y?2?0?，则z??5x?y的最大值与最小值之和为（）
A．-21 B．-2 C．-1 D．1
·1·
1?f?x???cos2x27．将函数的图象向右平移6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原
?3?g?y?g?x?来的2倍，得到函数的图象，则?4????（）
3311??A．2 B．2 C．2 D．2
8．已知三棱锥P?ABC中，AB?平面APC，AB?42，PA?PC?2，AC?2，则三棱锥P?ABC外接球的表面积为（）
A．28? B．36? C．48? D．72?
9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值.执行该程序框图，则输出的n?（）
A．50 B．53 C．59 D．62
10．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）
·2·
208?A．
4?4?32?32?216?208?216?3 B．3 C．3 D．3
x2y223C:2?2?1?a?0,b?0?e?ab3，11．已知双曲线的离心率对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，?AOF??OAF，?OAF的面积为33，则双曲线C的方程为（）
x2y2x2x2y2x2y22??1?y?1??1??13A．3612 B．3 C．9 D．124
12．设实数m?0，若对任意的x?e，不等式xlnx?me?0恒成立，则m的最大值是（）
2mx1eA．e B．3 C．2e D．e
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量
ra??t,0?，
rb???1,3?5rrrr，若a?b?4，则a?2b?．
1?2x??3x2?a????x??的展开式中x3的系数为80，则a?． 14．若
15．在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且?ABC的外接圆半径为1，若abc?6，则?ABC的面积为．
p?p???M4,?N?1,?????C:x2?2py?p?0?22O????，F16．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，
射线MO,NO分别交抛物线C于异于点O的点A,B，若A,B,F三点共线，则
p?．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
?an??n?a,9,a2成等比数列.
17．已知正项数列?3?是公差为2的等差数列，且1（1）求数列（2）求数列
?an?的通项公式； ?an?的前n项和Sn.
·3·
18．2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口
Ak?k?1,2,3,4?.已知某男子速滑运动员顺利通
31过每个交接口的概率均为4，摔倒的概率均为4.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，
现在用X表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数. （1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X的分布列及数学期望
E?X?.
19．如图，在三棱锥P?ABC中，D为棱PA上的任意一点，F,G,H分别为所在棱的中点. （1）证明：BD∥平面FGH；
（2）若CF?平面ABC，AB?BC，AB?2，?BAC?45?，当二面角C?GF?H的平面角
?为3时，求棱PC的长.
x2y2E:2?2?1?a?b?0?O:x2?y2?r2?r?0?xb?3c2cab20．已知椭圆的焦距为，且，圆与
轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点，（1）求圆O与椭圆E的方程；
·4·
PM?PN?2a，?PMN面积最大值为3.
（2）设圆O的切线l交椭圆E于点A,B，求21．已知函数
AB的取值范围. 的图象在与
f?x??x3?6x2?ax?b?a,b?R?x轴的交点处的切线方程为
y?9x?18.
（1）求
f?x?的解析式；
12kx?x?2??f?x??9x?kx?2,5??恒成立，求k的取值范围.
（2）若10对
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
??3cos?.
（1）求圆C的参数方程；
（2）设P为圆C上一动点，的大小.
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数
A?5,0?，若点P到直线
?sin???????73?3?3?CP的距离为4，求?Af?x??3x?1?2x?1?af?x??a的解集；
.
（1）求不等式
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得
f?n??0，求a的取值范围.
榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷 高三数学参考答案（理科） 一、选择题
1-5:DBCAC 6-10:CABBA 11、12：CD 二、填空题
3??2,?6? 14．-2 15．2 16．2 13．
三、解答题
·5·
?an?a2a1??2?n?23??3317．解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，
则
a2?3a1?18，
a1a2?a1?3a1?18??92a,9,a12又成等比数列，所以， ?an??n?a?3a??9a?3. 11解得或，因为数列?3?为正项数列，所以1an3??2?n?1??2n?1n33所以，
故
an??2n?1??3n.
，
（2）由（1）得所以所以
Sn?1?3?3?32?L??2n?1??3n，
3Sn?1?32?3?33?L??2n?1??3n?123nn?1?Sn?3Sn?3?2??3?3?L?3?2n?1?3????，
32?3n?3?2Sn?3?2???2n?1??3n?1?3n?1?6?1?2n?3n?1?2?2n?3n?1?6????1?3即，
故
Sn??n?1??3n?1?3.
3?3?127P??????4?4256. 18．解：（1）由题意可知：
（2）X的所有可能值为0,1,2,3,4.
则
P?Ak??3?k?1,2,3,4?A,A,A,A4，且1234相互独立.
故
P?X?0??PA1???14，
313P?X?1??PA1?A2???4416，
??·6·