13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a?2012时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．
?，x2012，满足14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2， x1?x2???x20，且11x1?2x2???2012x2012?n.
3，n14（乙）．将2，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得a?c，求n的最小值．
b
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2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题参考解答
一、选择题 1(甲) .C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
b?a?0?c，且b?c，
所以 a?|a?b|?(c?a)?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．
22
1（乙）．B 解：1?2?113?a?1?2?111?2?1?12?2?1?1?12?1?1?2?1?2．
2（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有
?(x?1)2?0，??(x?1)2?0，? ? ?22(y?1)?0；(y?1)?1；?????(x?1)2?1，??(x?1)2?1，? ? ?22(y?1)?0；(y?1)?1.????解得
?x?1，?x?1，?x?1， ? ? ?y?2；y?1；y?0；????x?0，?x?0， ? ?y?1；y?0；???x?0，?x?2，?x?2， ? ? ?y?2；y?1；y?0；????x?2， ?y?2.?以上共计9对. （x，y）3（甲）．D
解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为
1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)4(a?1)?a(?b?24?4a?2b4??3?4a?2b4，
中位数为
1)?4a?4b2?，
43?4a?2b?44于是
3（乙）．B
.
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解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE.
又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3，
22于是DE=AE?AD?4，所以CD = DE = 4.
4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得
?x?2?n(y?2)， ?y?n?2(x?n)，?消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =
(2y?7)?152y?7?1?152y?7.
因为
152y?7为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，
6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由
22二次函数y?x?px?q的图象知，当x?3时，所以3?3p?q?0，即 3p?q?9. y?0，
由于p，q都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或 p?2，1≤q≤2，此时都有??p?4q?0. 于是共有7组符合题意． （p，q）5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
p0?936，p1?836，p2?936，p3?10362，因此p3最大．
5（乙）．C
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解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则
x?1?(1?1)(12?1)(13?1)???(1100?1)，
1x?100． 解得 x?1?10，
二、填空题
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．
6（乙）.7 解：在
3?ca?b?1a?bab?c??1b?cbc?a?1c?a?109两边乘以a?b?c?9得
?ab?c?bc?a?7
?10即
ca?b
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以
ADBF?ANNF?23DNBN?21，
由此得AN?2NF，所以AN?AF.
在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以
AF?AB?BF22?5a，
于是 cos?BAF?ABAF?255.
由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，
?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?.
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