于是 AM?AE?cos?BAF?MN?AN?AM?23255a，
4515a，
AF?AM?
12S?MNDS?AFD?MNAF?415.
415815又S?AFD??(2a)?(2a)?2a，所以S?MND?2S?AFD?a.
2因为a?15，所以S?MND?8. 7（乙）.
285
解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM?DE．
因为OB?OM?CM?20?12?16，所以
?16?1220222OB?OCBC2?485，
645OC?OM?365，BM?．
CE?BD?（EM?CM）（?DM?BM）?BM?CM?645?365?285．
8（甲）．?23
解：根据题意，关于x的方程有
?=k－4(2
34k?3k?292)≥0，
由此得 (k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+x1x22011201294=0，解得x1=x2=?32.
故
=
1x2=?23．
8（乙）.1610
解：?n2?n?3??n2?n?3???n2?3??n2?n4?5n2?9
2因此5|(n?9)，所以n?1(mod5)，因此n?5k?1,或5k?2
2012?5?402??2
44所以共有2012-402=1610个数
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9（甲）．8
解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知2a?3b?130，由此得0≤b≤43. 又 a?b?(m?1)(m?2)2，所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是
0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43，
87≤(m?1)(m?2)≤130，
由此得 m?8，或m?9.
当m?8时，b?40，a?5；当m?9时，b?20，a?35，a?故m?8． 9（乙）.
3?25ac?1
a?b2?552，不合题设.
??a?b?c(1)?解：依题意得：?111，所以b?c?a，代入（2）得
???(2)a?bc1a?1bac?a2?1c??a1c?a?1c，两边乘以a得
ac?a，
1?c，
即
c?ac?化简得a2?3ac?c2?0，两边除以c2得
3?5a3?5a?a? 所以 ???3()?1?0??2c2cc??另一方面：a≤b≤c，所以
另解：可令
3?25acac?1 综合得
3?25?ac?1
2?k，由（1）得b?(1?k)c，代入（2）化简得k?3k?1?0，解得
?k?3?25另一方面：a≤b≤c，所以k?1， 综合得，
3?25?k?1．
10（甲）．
322
解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
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的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此
BCCF?BAAD.
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是
DEDC?OEOB?2. 因此
DE?2CD?2AD，CE?3AD.
由△AED∽△CEB，知DE?EC?AE?BE．因为AE?所以 2AD?3AD?BA3?BA，BA=22AD ，故 22CF?ADBA?BC?BA2，BE?32BA，
BC22?322.
10（乙）.12
解：依题意得n?a2?b2??a?b??a?b?
由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n?4k，
（a，b）当1≤n≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：
k?p或k?p，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、
219、23、4、9、25，从而这样的n有12个。
三、解答题
11（甲）．解： 因为当?1?x?3时，恒有y?0，所以
??（m?3）?（4m?2）?0，
2即（m?1）?0，所以m??1．
2…………（3分）
当x??1时，y≤0；当x?3时，y≤0，即
(?1)?(m?3)(?1)?m?2≤0，
(?且 3?3m223?)m?0， ≤2
解得m≤?5．
…………（8分）
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设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与
2系数的关系得x1?x2???m?3?，x1x2?m?2．
因为
1x1?1x2??910，所以
x1?x2x1x2??m?3m?2??910，
解得m??12，或m??2．
因此m??12．
…………（15分）
11（乙）.解：因为sin∠ABC =
AOAB?452，AO?8，
2所以AB = 10．由勾股定理，得BO?AB?AO?6．
易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6． 于是A(0，?8)，B(6，0)，C(?6，0)． 设点D的坐标为(m，n)． 由S△COE?S△ADE，得S△CDB?S△AOB． 所以
122解得 n??4．
BC?n?1AO?BO，
12?12(?n)?12?8?6．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为(3，?4)．
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，
?所以点E的坐标为(0，83)．（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6)． 将点E的坐标代入，解得a =
227．
227x?2故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?
83．
12（甲）． 证明：连接BD，因为OB为?O1的直径，所
以?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与?O1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为OC?OB，所以
?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．
…………（10分）
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又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以
△BOC∽△DO1F．
…………（15分）
12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：?CID??IAD??IDA，
?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA． 所以?CID??CDI， CI = CD．
同理，CI = CB ．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，
所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．
故OI是△IBD外接圆的切线． （2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．
??C?D，知OC⊥BD． 由BC因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE． 又因为I是△ABD的内心，所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD． 故AB?AD?2BD．
也可由托勒密定理得：AB?CD?AD?BC?AC?BD，再将AC?2BC?2CD代入即得结论AB?AD?2BD。
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）.
因为 (a+b)－4ab = (a－b)， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分）
（1）当n?1时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n?m 2，2a－m－2n?1.
解得 a?(m?1)4222
，n?m?1422.
（m?1）于是 b= a－m?.
4…………（10分）
又a≥2012，即
(m?1)42≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥
(89?1)42=2025.
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