3.2弱联系的力量
那么，如上所述的这些理论，又如何与马克_格兰诺维特的面试问题相关联，显示出“较远的连接关系相比紧密的连接关系，更能帮助人带来新的工作机会”呢？事实上，三元闭包正是解释该现象的重要思想之一。 1.桥和捷径
首先需要明确几个前提：好的工作机会信息相对稀缺，某些人从别人那里听到一个有前途的工作机会表明他们有获取有用信息的来源。现在，让我们考虑图3.3所示的一个简单社交网络状况。
如图所示，A有4个朋友，而其中的一段朋友关系与其他的有本质不同：A和C、D和E的关系为一个闭合图形，其中每个人都与组中的其他人相连接；而A与B的关系似乎拓展到了另一个不同的社交网。我们可以就此推测，A与B关系的结构特点将给A的日常生活带来不同以往的转机：在A的闭合朋友圈中，C、D和E 有较大可能提供类似角度的意见和相近的工作机会信息，而A和B的关系则可能使他有机会接触完全不同的观点和信息。
为了更明确表示例子中A-B关系的特别，我们介绍以下定义。一个图中，巳知A和B相连，若去掉连接A和B的边会导致A和B分属不同连通分量，则该边称为桥（bridge)。换句话说，该边为其两个端点A和B间的唯一路径。
通过在第2章中关于强连通分量和小世界现象的学习，我们可以了解，桥在实际社交网络中是极其罕见的。你可能有一个成长背景与自己完全不同的朋友，似乎友谊是连接你和他的唯一桥梁，但事实是，在这个纷杂的世界中，除了你们的友谊，总还有一些其他难于发现的潜在关联存在。换句话说，如果将图3.3延伸至一个更大的社交网络，则图3.4是比较可能出现的情况。
图3.4中，A-B边并不是连接其端点的唯一路径，尽管A和B也许并没有意识到这一点——它们同时还通过一个较长的路径F、G和H相连。类似这样的结构在真实的社交网络中较之桥更为普遍，我们给出如下定义：若边A-B的端点A和B没有共同的朋友，则称边A-B为捷径（localbridge)。换句话说，删除该边将把A和B的距离增加至2以上（不含2)，则称该边为捷径。我们定义捷径的跨度为该边两端点在没有该边情况下的实际距离[190,407]。因此，图3.4中，A-B边为跨度4的捷径；同时可以查看，该图中没有其他边为捷径，因为在删除该图中的任意其他边后，其顶点的距离均不超过2。注意，捷径与三元闭包在概念上隐含着一种对立：一条边若是捷径，则不可能是三元闭包关系中的任意一边。
捷径，特别是其中跨度较大的捷径，其作用和桥无明显差异，只是不那么极端：其两个端点直接触及社交网的两个不同部分并可通过该方式获取原本离自己很遥远的信息。这是我们找到的第一个用来解释格兰诺维特教授关于找工作问题观察的社交网络结构。我们可以预计到，如果节点A需要获取全新的信息（例如找一份新工作），则对他提供帮助的很可能是(尽管不总是)一位通过捷径连接到的朋友。因为，在你所属的紧密关联的群体内，虽然每个人都热心地想要帮忙，但他们掌握的信息，多数你早已经知道了。
2.强三元闭包性质
当然，接受格兰诺维特教授访问的人并不会说：“我是通过和我以捷径相连的朋友找到现在的工作的。”如果我们认为捷径在人们找工作的例子上被过分强调，我们又怎样认识所观察到的事实，即实际上更多是关系较远的熟人提供新信息呢？ 为了便于讨论，需要区别社交网络中不同关系的强度。在为“强度”下确切定义之前，先明确其所要表达的意思，即关系的强度越大表示友谊越亲密，且互动越频繁。一般来说，关系的强度可以是一定范围内的任意值，然而，为了简化概念，并与我们的朋友/熟人二分原则相匹配，将社交网中的所有关系归为两大类：强联系（较强的关系，相对应朋友关系）和弱联系（较弱的关系，相对应熟人关系）①。
注：①将本来应该是用一个范围来表示的关系强度简化为两类关系（强/弱）已经是粗略了，还有一些其他的微妙之处需要理解。例如，这里所讨论的只适合社会网络的一个“快照”，将其中的关系分为强和弱两种，但实际上社会网络中的关系强度会随时间和情形改变。比如，公司的一个员工被临时安排到另一个部门工作一段时间，她可能会发现原来的社会网络关系的结构基本一样，但与新部门的那些人的关系增强了（因为更频繁地接触），而与老部门的那些人的关系减弱了。类似地，一个高中生可能会发现在赛季他与一个特别运动队的队友的关系变强了，但在赛季外的时候则与某些队友的关系变弱。尽管可以主要考虑到这些因素，但对我们的目的而言，我们总认为在分析过程中的关系分为两类，且不会改变。
一旦决定了按强联系和弱联系将关系分类，就可以来标注社交网络中的每一条边（强或弱）。例如，我们让图3.4所示社交网中各节点报告所相邻节点中哪些算朋
友，哪些算熟人，据此将该图标注，如图3.5所示。
现在将强联系和弱联系的概念应用回三元闭包关系。首先，回顾在讨论三元闭包关系时所包含的几个重要因素：机会、信任、动机。当所涉及的边是强联系时，这三个因素均会发挥更大的功用。由此有以下定性的假设。，
假设：设在社会网络中有A-B边和A-C边。如果这两条边都是强联系，则
很有可能形成B-C边。
为了将以上讨论具体化，格兰诺维特给出了以下更为正式(也较为极端）的定义。
定义：若节点A与节点B和C的关系均为强联系，且B和C之间无任何连接（强或弱），则称节点A违反了强三元闭包性质。否则，称节点A满足强三元闭包性质。
根据如上定义，可以检查图3.5中所有节点均满足强三元闭包性质。而如果将A-F
边性质改为“强联系”，则节点A和F均违反了强三元闭包性质：节点A与节点E和F均为强联系，而节点E和F之间并无E-F边相连;节点F同时与节点A和G强相连，而节点A和G并无直接联系。需要注意的是，根据定义，该囝中节点H也满足强三元闭包性质：事实上，H不可能违反该性质，因为它与相邻节点的关系中仅有一个为强联系。 显而易见，强三元闭包性质的极端性使我们不会指望大型社交网络的所有节点都满足，但它作为将实际问题抽象化的重要步骤，使我们能够进一步推理强联系和弱联系的结构性含义。正如在初级物理课上研究球体飞行时，常忽略空气阻力的影响。同理，在讨论社交网络问题中，一个相对严格的假设可将研究环境简单化，从而有利于问题的分析。现在将顺着已有思路继续讨论，然后回到最初的假设命题，来观察这些概念如何作用于该命题。
3.捷径和弱联系
现在已将网络中的连接关系明确划分为两大类：强联系和弱联系，这是一种纯粹局部的概念。同时，又将社交网中的边区分为捷径和非捷径，这是一种全局的结构性概念。表面上看，这两个概念间并无直接关系，但实际上，通过三元闭包概念，可以在这两者间建立起一种联系，如下所述。
断言：社交网络中，若节点A满足强三元闭包性质，并有至少两个强联系边与之相连，则与其相连的任何捷径均为弱联系。 换句话说，在假设满足强三元闭包性质及充分数目的强联系边存在的前提下，社交网络中的捷径必然为弱联系。
我们可以按照数学的方法来证明该断言，即说明它是可以从定义出发，逻辑上推导出来的结果。这个意义上，该断言有别于第2章中所见的关于全球友谊网络包含强连通分量的陈述。那是一种思辩推断(尽管具备相当的说服力），它首先要求我们相信各种关于人类友谊网的经验性表述，这些经验性表述在经过对社交网络的数据收集和分析后可能被证实，也可能被推翻。这里，我们已经对一些概念进行了数学定义，特别是捷径和强三元闭包性质，因此可在此基础上对上述断言进行论证。
论证过程实际上非常简单。使用反证法，设已知一社交网络及一节点A，满足强三元闭包性质并涉及至少两个强联系边。现在假设A与B之间有一捷径相连，且该捷径为强联系。现需要证明以上假设是不可能成立的，其中的要点如图3.6所示。首先，因为A至少涉及两个强联系边，于是B只是其中之一，则A必与另外的某节点（称为C)以强联系相连。试问：B和C间是否有边相连？因为A、B间的边为捷径，则A和B必没有共同的朋友，则&C边不存在。但由强三元闭包性质可知，由于A-B边和A-C边均为强联系边，则B-C边必然存在，两者相悖。由此可知，这样一条同为捷径和强联系的边是不可能存在的。
图3.6若A-B边是一个强联系，則B和C之间必须有一条边，于是A-B边不能是一个捷径
该断言在网络中的局部属性(联系的强度）和全局属性（捷径与否）之间建立了一个联系，同时也为我们提供了一种将纯人际关系和网络结构相关联的新型思考方式。然而，由于该论证基于一个很强的假设（主要指强三元闭包性质），在此有必要对这种简化假设对于研究该类问题所起到的重要作用略作说明。 首先，简化假设有助于从实际例子中获取定性结论，即使假设条件不够严谨。例如，数学论证也可以用生活化的语言来总结为：节点A和B间的捷径必须是弱连接，否则，根据三元闭包原理，就很可能会形成另外的短路径将A和B连接起来，从而使A-B边不成其为捷径了。我们仍可以通过初级物理课的内容来进行类比。虽然推导出小球的完美抛物线飞行轨迹的假设在现实世界并不存在，但是使用该假设所推导出的抛物线轨迹却具有非常重要的现实意义。
其次，当假设条件比较明确，就像前面的例子一样，就比较容易用真实数据来测试。在过去的几年中，科研人员就关系强度和网络结构在人数众多的社交网中的定量关系进行了研究。研究表明，先前所描述的结论在实际中也是近似成立的。下节将讨论与之相关的一些结果。
最后，该分析为一些一开始看上去令人不知所措的问题提供了一个具体的思考框架，就好比一个新的工作机会往往藏匿在与某个不太常联系的熟人关系中。该论点想要说明的是，这些为我们带来新的信息资源和机会的社交关系，其在社交网