东城区2016—2017学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学（理科）答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项） 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 C 7 A 8 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上.） 题号 答案 9 10 11 3 12 13 2或6 14 三 2 1y??x 236π 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）因为AC?BH，所以设AC所在的直线方程为2x?y?t?0．
把A(5,1)代入直线方程为2x?y?t?0，解得t??11．
所以AC所在的直线方程为2x?y?11?0． …………………… 5分 （Ⅱ）设B(x0,y0)，则AB的中点为(x0?5y0?1,)． 22?x0?2y0?5?0,?x0?2y0?5?0,?联立方程组?化简得? x0?5y0?12x?y?1?0.2???5?0.0?0??22解得??x0??1,即B(?1,?3)． …………………… 9分
y??3.?016．（本题满分8分）
证明：（Ⅰ） ?E,F分别为A1B1，AC11的中点，
?EF//B1C1．
又?EF?面BEF，B1C1?面BEF，
?B1C1//面BEF． ………………………………………… 5分
（Ⅱ）
FA1EB1C1CAB………………………………………… 8分
17．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）设圆心坐标为C(a,b)，圆C的圆心在直线x?3y?0上，所以a?3b． 因为圆与y轴相切于点(0,1)，则b?1，r?|a?0|． 所以圆C的圆心坐标为(3,1)，r?3．
则圆C的方程为(x?3)2?(y?1)2?9． ……………………………… 5分 （Ⅱ）因为CA?CB，|CA|?|CB|?r，所以△ABC为等腰直角三角形． 因为|CA|?|CB|?r=3，则圆心C到直线l的距离d? 则d?32． 2|3?1?m|3?2，求得m?1或?5． ……………………………… 9分 21?1A18．（本题满分9分）
证明：（Ⅰ）?等边?ABC，F为BC的中点，
?AF?BC．
即AF?BF，AF?FC．
EDFBC又?BF?FC?F，
?AF?面BCF． 又?BC?面BCF，
?AF?BC． ………………………… 3分
(II) 如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴， FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．
设FC?2，则有F?0,0,0?，A0,0,23，B???3,?1,0，C?0,2,0?，
zA??31?,?,3?D???2?，E0,1,3． 2??????????31????FE?0,1,3， ，FD?,?,3????2?2????DE??????31????AD???2,?2,?3??，AE?0,1,?3．
????FCBy设平面DEF的法向量为m??x1,y1,z1?，因此有
x?????31?FD?m?0,x?y1?3z1?0,??1即2??2??????FE?m?0,?y?3z?0.?11令z1?1，则m??3,?3,1．
??
设平面ADE的法向量为n??x2,y2,z2?，因此有
?????31?x2?y2?3z2?0,?AD?n?0,?即?2 令z2?1，则n?3,3,1． 2???????AE?n?0,?y?3z?0.?22???cos?m,n??m?n?1111???． mn1313?1311． ………………………… 6分 13?二面角A?DE?F的余弦值为? (III)在线段BC上存在一点N，满足面ABF?面DFN，且
BN2?．证明如下： BC3在平面BCF内，过F作FN?BF交BC于N，
?AF?面BCF，FN?面BCF，?AF?FN．
又?FN?BF， AF?BF?F，
?FN?面ABF．
又?FN?面DFN，?面ABF?面DFN． 设FN?a，
A??BFC?120?，BF?FC ， ? ?FBC??FCB=30?．
又? FN?BF，? BN?2a．
DEFBMC??NFC??FCN=30?,
?FN?NC?a. ?BC?3a. BN2?． ………………………… 9分 ?BC319．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x,y)，
则kPA?yy(x??2)， kPB?(x?2)． x?2x?2∵kPA?kPBy211??，∴2??(x??2)． 4x?44x2?y2?1(x??2)． ……………………… 4分 化简得曲线C的轨迹方程为4（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x?1，则 1PDO10.5NB23456733),Q(1,?)． P(1,22A210.511.5QM22.533.5直线PB的方程为y??33(x?2)，解得M(3,?)． 22直线QB的方程为y?33(x?2)，解得N(3,)． 22则S△BPQ?1313，S△BMN??3?1?． ?3?1?2222此时△BPQ和△BMN的面积相等 ……… 6分 当直线l的斜率存在时，
法1：设直线的方程为y?k(x?1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)． 由??y?k(x?1),2222得(1?4k)x?8kx?4k?4?0． 22?x?4y?4.8k24k2?4x1?x2?，x1x2?． 221?4k1?4k直线PB的方程为y?y1y(x?2)，求得M(3,1)． x1?2x1?2y2y(x?2)，求得N(3,2)． x2?2x2?2直线QB的方程为y?S△BPQ?11|k|1|PQ|h?1?k2|x1?x2|??|k||x1?x2|， 221?k22k(x1?x2)111|MN|h?|yN?yM|?||． 222(x1?2)(x2?2)S△BMN?若S△BPQ?S△BMN，则(2?x1)(2?x2)?1，即x1x2?2(x1?x2)?3?0．
4k2?416k2??3?0，化简得?1?0． ∴
1?4k21?4k2此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等
综上，直线l的方程为x?1． ………………………… 9分