专题七 正、反比例函数及函数的综合
一、考点分析
课程标准对正反比例函数的要求： 1、理解正比例函数；
2、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
3、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质（k<0或k>0时，图象的变化）
4、能用反比例函数解决某些实际问题.
函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了它不仅与数学其他知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题问的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，无论在填空题、选择题，还是解答题中，都有考查函数知识的内容，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．
关于正反比例函数每年中考都要涉及到，难度均在0.8以上，属于给同学送分题目，只要同学们掌握好正反比函数的基本知识、基本性质和最基本的题目类型就可以应付自如，因此给同学们提出以下复习策略：
打好“常规”基础,抓住“常规”题型,适当拓宽“新题”；强化在文字语言的描述中寻找数量关系的训练,注意图、表信息的提取、数形结合的运用；注重实际检验.
为了更好地方便同学们掌握正、反比例函数的图象和性质，现列表如下： 正比例函数 反比例函数 函数 k表达式 y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y=或y=kx-1或xy=k(k?0)x 图象 y 0 x y x o k>0 k<0 性质 （1）k>0，图象经过一、三象限 k<0，图象经过二、四象限 （2）k>0，y随x的增大而增大 k<0，y随x的增大而减小 k>0 k<0 （1）k>0，图象位于一、三象限 k<0，图象位于二、四象限 （2）k>0，每个象限内y随x的增大而增大 k<0，每个象限内y随x的增大而减小 几点补充： （1）对称性：正比例函数图象是轴对称图形，反比例函图象既是轴对称也是中心对称，直线是轴对称，单独考查对称性的题目比较少，在中考中常常结合面积
k
问题求点坐标时出现，如直线y=kx与双曲线y?交于A、B两点，则A、B两
x
点关于原点对称，已知A点坐标根据对称性就很容易知道B点坐标.
（2）自变量x增大或减小时，反比例函数的两支曲线都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴或y轴.直线是向两方无限延伸的.
（3）几何意义：正比例函数中的k值刻画了直线的倾斜程度，k值的正负决定了直线是上升的还是下降的；反比例函数解析式中的k值常常和面积联系在一
y起，过图象的任意一点P向x轴和y轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积于k.S=PM×PN=xp?yp?k
N在中考中，对正反比例函数的考查常常以选择、填空
题出现，在解答题考查时往往求解解析式，和其他问题综
ox合考查. M下面介绍一下确定函数关系式的方法： 确定函数关系式的方法：
⑴由题意设出函数关系式（待定系数法）；
⑵根据图象过已知点或通过别的途径（看图象、语言叙述等）告诉的自变量与因变量的对应关系列出关于待定系数的方成（组）；
⑶解关于待定系数的方程（组），求出待定系数；
⑷将求出的待定条件代回到原来设的关系式中即可求出.
p求函数解析式的步骤简记：
一设 （优选函数解析式，尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好） 二构 （将点的坐标代入解析式，构造待定系数的方程或方程组，） （用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组） 三解 （解方程或方程组）
四回代（将解出来的系数代入所设的函数解析式）
将点的坐标代入解析式，是构造关于“系数”方程的主要方法，转化点的坐标是求函数解析式的重要方法.
正比例函数的表达式y＝kx（k≠0），需要一个独立条件.
k反比例函数的表达式y?（k≠0），需要一个独立条件.
x一个独立条件可以是一个点的坐标，可以是与其他点构成的图形的面积等形式.
二、典例分析
1、题型1：有关正、反比例函数的概念
例1：（1）函数y?2xm?1是①正比例函数，则m= ；②反比例函数，则m=______
k中，k与x的取值情况是（ ） xA.k≠0，x取全体实数 B.x≠0, k取全体实数 C.k≠0，x≠0 D.k、x都可取全体实数
对于（1）很好地考查了正、反比例函数形式的统一性，最本质的差别在于
x的次数是不同的，当m-1等于1时，它代表正比例函数，当m-1等于-1时它代
表反比例函数图象.对于（2）结合分时考查了反比例函数的自变量的取值范围问题.
跟踪练习：
x111下列函数，①x(y?2)?1; ②y?;③y?2 ;④y??;⑤y??;
x?1x2x2（2）反比例函数y?1 ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________. 3x2、题型2：有关正、反比例函数的图象和性质：
k例2：（1）正比例函数y?kx和反比例函数y?在同一坐标系内的图象为
x⑥y?（ ）
y y y y 点拨：用数形结合的思想
o o o o 来考虑这类问题依形判x x x x 数、由数思形，先假定正比例函数图象，再去看反A B C D 比例图象是否可能，或者
先假定反比例函数，再去判断正比例函数图象. （1）看一次函数的图象
根据图象的走向定 k的符号：上升的，k ＞ 0；下降的，k ＜ 0 或根据所在象限定k的符号：一、三象限，k>0；二四象限，k<0 （2）看反比例函数图象：
根据图象的位置定 k的符号：
一、三象限 k ＞ 0 二、四象限 k ＜ 0
同时根据图象也可以确定函数的增减性
图象是上升的，y 随 x 增大而增大；图象是下降的，y 随 x 增大而减小.对于反比例函数图象位于两个象限，应该强调在每个象限内.
（2）已知点A(?1,y1),B(?2,y2),C(4,y3)都在反比例函数y?则y1,y2,y3的大小关系(从大到小)为 .点拨：做这类问题一般有两类方法：
（1）图象法：画草图如右图，根据图象性质来具体判断；
（2） 赋值法：假定k=4（其他正值均可，这里取4是为方便计算），则解析式已知，分别将x=-1，-2，4代入可求y1,y2,y3，即得大小关系. 跟踪练习
2（1）若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数y?? 的图
xk(k?0)的图象上,xy-1y3-2ABoy1y2C4x象上，且 x1?x2?0?x3，则下列判断中正确的是（ ）
A．y1?y2?y3 B．y3?y1?y2 C．y2?y3?y1 D．y3?y2?y1
k2（2）对于反比例函数y?(k?0)，下列说法不正确的是 ．．．xA. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k，k）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y随x的增大而增大 （3）已知 k1＜0＜k2，则函数 y＝k1x 和 y＝2 的图象大致是（ ）
y y x O y y kxO O x x O x
A B C D
（4）已知反比例函数y?k的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点
xA(27，y1)、B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为（ ）. A、y1＞y2 B、y1＝y2 C、y1＜y2 D、无法确定
题型3：正、反比例函数的解析式与它图象上的点
6例3：（1）若双曲线y??经过点A（m，-2m），则m的值为__________.
xk（2）正比例函数y??5x的图象与反比例函数y?(k?0)的图象相交于点A（1，
x，则反比例函数解析式 ． a）
跟踪练习：
2（1）下列各点中，在反比例函数y??图象上的是（ ）
x1) A．(2，
?2?B．?，3?
3???1) C．(?2，2) D．(?1，（2）反比例函数y?k(k?0）的图象经过（—2，5）和（2， n）， x求①n的值；②判断点B（42，?2）是否在这个函数图象上，并说明理由 （3）正比例函数y?x2和反比例函数y?的图象有 个交点． 2x
题型4 反比例函数与三角形面积结合题型.
例4：（1）如图，正比例函数y?kx(k?0)与反比例函数y?2的图象相交于A、xC两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．随k的取值改变而改变．
y点拨：欲求ΔABC的面积可将其分割成ΔABO和ΔOBC两个三角形的面积和，我们先来研究ΔABO的问题.
111S△ABO=AB×OB=xA?yA?k=1，由于A、C两点关于
222原点对称，故纵坐标互为相反数，因此ΔABO和ΔOBC是同底等高的.S△ABO=1
A O C B x由以上分析可以看出，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线所构成的矩形面积等于定值k （2）如图，在反比例函数y?2（x?0）的图象上，有点P，P2，P13，P4，它们x的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则
y
S1?S2?S3? ．
跟踪练习
2y?
xP1
P2
O
1
2
y P3 3
P4 4
x
51、如图，反比例函数y?的图象与直线y?kx(k?0)相交于
xB A O C B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于 个面积单位.
x (第 题图) 2、如图，直线y?kx??2(k＞0)与双曲线y?k在第一x象限内的交点面积为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k?