行分部积分，得
?xi?????1edxj??xie????xj??xj?xi???edxj,其中第一项要将xj的???xj1上下限代入. 如果xj是粒子的动量，将上下限??代入后?趋于无穷，使第一项为零；如果xj是粒子的坐标，其上下限是??或器壁坐标，代入后?也趋于
?x无穷，亦使第一项为零. 考虑到i??ij，即有
?xj?xi??j?xjdxj?1??ij?e???dxj.（3）
代回式（2），得xi12????ijkT.（4）式（4）称为广义能量均分定理. 假如?中含?xj有xi的项可以表为平方项，即??q,p??axi2????x1,,xi?1,xi?1,,x2r?.（5）由式（4）得axi2?kT.（6）这正是能量均分定理的结果.
【65】 已知极端相对论粒子的能量-动量关系为??c?p?p?p2x2y122z?.
假设由近独立、极端相对论粒子组成的气体满足经典极限条件，试由广义能量均分定理求粒子的平均能量.
解: 由极端相对论粒子的能量-动量关系??c?p?p?p2x2y122z?（1）可得
????picpi?p2x2?py?p122z?,1??????2222px?py?pz?c?px?py?pz?而根据i?x,y,z.显然?px?py?pz??.广义能量均分定理，有px???????py?pz?kT,所以??3kT. ?px?py?pz【66】 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即S?klnΩ.
解: 对于理想费米系统，与分布?al?相应的系统的微观状态数为
Ω??l?l!,取对数，得lnΩ????lln?l?allnal???l?al?ln??l?al??.（2） ??al!??l?al?!l另一方面，理想费米系统的熵为
??S?k?lΞ?n??????Ξ??lnΞ?ln??????k?lΞ?n??????l?al?（3）其中费米巨配分函,l???klnΞ??N??U??数的对数为lnΞ???lln?1?e??????.（4）由费米分布al?l?le????ll?1易得
1?e?????l??l?l?al（5）和????l?lnl?l?alal.（6）将式（5）代入式（4）可将费米
巨配分函数表示为lnΞ???lln有S?k???llnl?l?l?al.（7）将式（6）和式（7）代入式（3），
???l?l?al?alln?l?al?al??k????lln?l?allnal???l?al?ln??l?al???.（8） l?
比较式（8）和式（2），知S?klnΩ.（9）对于理想玻色系统，证明是类似的. 【67】试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为
SB.E.?k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???,sSF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???,s其中fs为量子态s上的平均粒子数. ?表
s示对粒子的所有量子态求和. 同时证明，当fs??1时，有SB.E.?SF.D.?SM.B.??k??fslnfs?fs?.
s解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为
SF?k????ll??a.la????an?l??D?a???l???a??k????l?a?ll?a?l?lla?n?ll??l??a???k??l??1?l?l???l?l.n????lll????l?l??aln?l（1）式中?表示对粒子各能级求和. 以fs?al?l表示在能量为?l的量子态s上
ls的平均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到??l~?, 上式可改写为SF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???.（2）由于fs?1，计及前面的
s负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明SF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???.（3）对于玻色系统fs?0，计及前面的
s负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在fs??1的情形下，式（2）和式（3）中的??1fs?ln?1fs????1fs??fs???fs所以，在fs??1的情形下，有 SB.E.?SF.D.??k??fslnfs?fs?.（4）注意到?fs?N，上式也可表示为
ssSB.E.?SF.D.??k?fslnfs?Nk.（5）
s【68】求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.
解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为
3??22??2U311Nh?p?,2）（1）利用理想气体压强与内能的关系（ U?NkT?1?5????3V2gV2πmkT????22??3??22??11h?,（3）式中n?N是可直接求得弱简并气体的压强为p?nkT?1?5n????Vg2πmkT???22???粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为
??U?CV?????T?V?31?Nk?17?22??2?h2n???,2πmkT????32VdT?S0?V?.（5） ?（4）可将熵表示为S??T??C将式（4）代入，得弱简并气体的熵为S?NklnT?Nk式中的函数S0?V?可通过下述条件确定：在n?3?32?11?hn（6） ???S0?V?.7g2πmkT??22232232?N?h????1 V?2πmkT?的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.从而得弱简并费米（玻色）气
33????222??2πmkT511h????体的熵为S?Nk????ln?ng??.（7） ???72g?2πmkT???h??22??2????【69】试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因
斯坦凝聚.
解:令玻色气体降温到某有限温度Tc，气体的化学势将趋于-0. 在T?Tc时将有宏观量级的粒子凝聚在??0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度Tc由条件?0??D???d??ekTc?12πL2?n（1）确定.将二维自由粒子的状态密度D???d??2md?
h??2πL2代入式（1），得2m?0hd???n.（2）二维理想玻色气体的凝聚温度Tc由式
ekTc?1??dx2πL2（2）确定. 令x?，上式可改写为2mkTc?0x?n.（3）在计算式（3）
he?1kTc11的积分时可将被积函数展开，有x?x?e?x1?e?x?e?2x?,则 ?xe?1e1?e????????0dx11?1???ex?1231??.（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温n?1n?度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.
【70】计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算 （a温度为1000K的平衡辐射（b温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度. 解:在体积V内，在?到??d?的圆频率范围内光子的量子态数为
D???d??V2?d?.（1）温度为T时平均光子数为 23πcD???d?N??,T?d??.（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子?ekT?1
V数为N?T??23πc?x?.（3）引入变量，上式可表示为 ?0?kTekT?13V?kT???x2dxN?T??23???0xk3πc?e?1?或n?T??2.404233T3.（3）在1000K下，有 πck33?2.404233VT.πcn?2?1016m?3.在3K下，有n?5.5?108m?3.
???2d?【71】 室温下某金属中自由电子气体的数密度n?6?1028m?3,某半导体中导电电子的数密度为n?1028m?3，试验证这两种电子气体是否为简并气体.
解:在e???1，即n?3??1的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e???1，即n?3??1的情形下，气体形成强简并的费米气体.n?3?n???h28?333?,将T?300K,n?6?10m代入，得n??10??1,说明该金属
?2πmkT?232中的自由电子形成强简并的费米气体. 将T?300K,n?1020m?3代入，得 n?3?10?5??1,所以该半导体中的导电电子是非简并气体， 【72】 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率. 解:绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为f?1,p?pF, f?0,p?pF,（1）其中pF是费米动量，即0 K时电子的最大动量. 据此，
8πV3h电子的平均动量为p?8πVh3p3pF3υ???υF.（3） m4m4??pF0pF014pF3?4?pF.（2）因此电子的平均速率为 134p2dppF3p3dp【73】 金属中的自由电子可以近似看作处在一个恒定势阱中的自由粒子.下图示意地表示0K时处在势阱中的电子.?表示势阱的深度,它等于将
处在最低能级??0的电子移到金属外所需的最
小功.?(0)表示0K时电子气体的化学势.如果将处在费米能级???(0)的电子移到金属外,所需的最小功为W????(0)W称为功函数.W的大小视。。。。。。 解: 费米分布给出,单位体积内,动量在dpxdpydpz范围内的电子数为
dn?2h3dpxdpydpze?2m[1(p2xd2pyd2pz)??] (1)单位时间内,碰到法线沿z轴的金属表面的单位面积
?12h3υzdpxdpydpze?2m[1(p2xd2pyd2pz)??]上,动量在dpxdpydpz范围内电子数为υzdn? (2)将上式改写为
?1
2υzdn?3hdpxdpydpz?ze?2m[1(p2x?py2)??z??]?1p2z (3)其中?z?是电子在z方向的平动能量.电子要摆
2m脱金属的束缚发射到体外，它在垂直于表面的方向上具有的动能必须大于?,即?z?? (4)将式(3)乘发电子的电荷-e,积分即得单位时间内通过金属表面单位面积发射的热电流为
2J?(?e)3h?????dpx?dpy?????????xd?ze?[1(p2x?p2y)??z??]?1 (5) 2m2(?e)kT?h3?????dpx?dpyln(1?e??)??其中??11[W?(p2x?p2y)] (6)上式已考虑到?(T)相差很小,而令与?(0)kT2m????(T)?W.一般情形下?1.可以令ln?(??1??而有ew1(p2xp2y)???2kT(?e)?kT2mkTJ?e??edpxdpy3??h (7) W?2πme??3(kT)2ekTh由于W是电子伏的量级,要在高温(例如103K)才有可观的热发射电子.