《推理与证明》复习建议
“推理与证明”是新课标新增内容，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求），这部分的内容是各知识模块中常用思维方法和论证方法的总结，其思维方法和论证方法是高考考查的重点，每年高考均有大量试题涉及；而且，“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是数学学科能力的核心，它的基本知识与方法是高中数学较为基础的一部分，因此在第一轮复习中贯穿这些思维方式和论证方法是非常重要的。下面通过查阅相关文献资料以及近几年全国各地的高考题，提出以下复习备考的看法，供大家参考。
一．08年考试内容及考试要求 1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 （3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。 3．数学归纳法（文科不做要求）
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
“推理与证明”这部分在08与07年高考数学考试说明中的要求是相同的，且09年是“3+x+综合”的最后一年，估计变化不大。
二．高考试题统计分析
表一：近三年高考广东卷客观题中涉及推理与证明部分的分值统计 年份 题号 题型 分值 考查内容 选择 演绎推理 10 5 填空 数学归纳法 2006 14 5 选择 演绎推理 8 5 填空 数学归纳法 2007 12 5 （没有独立命题） 2008 表二：新课改地区08高考卷客观题涉及推理与证明这部分的分值统计 省份 题号 题型 分值 考查内容 广东 （没有独立命题） 江苏 填空 归纳推理 10 5 宁夏海南 （没有独立命题） 山东 （没有独立命题） 解答题均无独立命题。 三．高考命题趋势
推理是思维的基本形式之一，中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，来论证某一数学命题真实性的初步的推理能力。
考纲指出：对数学能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要切合考生实际，对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性。
命题趋势：高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握。
在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答
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题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材。
“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何、解析几何等方面，主要以考查“直接证明”中的综合法为主。
由于“数学归纳法”仅限于与自然数有关的命题，故单独命题的可能性不大，多数以数列及不等式为载体来综合考查。高考常见的题型有：证明等式问题、证明不等式问题、证明整除问题和解决数列中的探究性问题等，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤。近两年广东高考数学文理分卷，而且文理差异逐年加大，所以对只作理科要求的数学归纳法要多加留意。
四．复习备考和学法建议； （一）复习备考建议
1．有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法
数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”，而推理与证明正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第一轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养。
例如常要使用演绎推理和两种证明方法的立体几何，既能培养学生的空间想象力又能培养学生的逻辑思维能力，如果在这部分复习中能够连同演绎推理的原理和两种证明的特征一并讲解，既有助学生理解，又能提高其综合能力，对书写表达也有很大裨益，可谓一举多得。
又如在数列、函数、不等式中，对涉及自然数的命题作一题多解，既拓宽学生的思维空间，也让学生分别在横向和纵向构建数学框架。另外，客观题的训练中，适当地进行合情推理的尝试，也能使学生将各类知识点联系在一起，以达到综合训练的目的。
2．夯实基础的同时加大信息量
夯实双基是提高数学能力的必要条件，只有对数学基础知识和数学规律、性质有一定的了解才谈得上思维能力的开拓，因此必须注重数学基础的学习。
同时，对于有能力的学生，加大信息量，在教材之外，适当的把一些竞赛数学的思想，以及与高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透，都有助其解决最后的压轴题。例如08年广东理科卷
（二）学法建议
1．运用“合情推理”时应该尝试从多个角度去观察并发现规律。运用“类比推理”时重点在找出两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，从而得出一个明确的命题（猜想）。可以类比方法、类比定理以及类比性质。
2．“综合法”的思维特征是：由因导果。即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
3．“分析法”的思维特征是：执果索因。从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明。很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用。
4．“反证法”也是一种十分重要的方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法。
5．“数学归纳法”是推理逻辑，分为两大步骤，第一步是当n=n0时命题成立，其中n0是命题成立的初始元值，不一定是自然数1，这一步是论证的基本保证，是递推的基础，必须保证其真实性，这一步往往通过验证来落实；第二步是假设n=k时命题成立，可推导出n=k+1命题成立，这是递推步骤，是命题具有后续传递性的保证，故这一步骤更强调是否具备传递性，由k?k+1时必须使用归纳假设，否则不算数学归纳法。同时，这一步骤还要注意由k?k+1命题改变的部分，例如项数，这是学习的难点。另外，数学归纳法虽然仅限于与自然数有关的命题，但并不是所有与自然数有关的命题都能使用数学归纳法。
五．考点例析 考点1：合情推理
合情推理中的“归纳推理”是考查的重点，尤其常用在数列、不等式、函数中与自然数有关的命题，因此复习数列、不等式、函数时加强推理能力的训练。“类比推理”也偶有出现（04年广东）
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例1. (2007广东理)如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 __ 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝ 12 ;
f(n)＝
例2．（2007湖南理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 2n－1 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
例3．（2008北京理）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种
n(n?1)(n?2) .（答案用数字或的解析式表示）
n2???k?1??k?2??x?x?1?5T?T?kk?1???，??5?5???????植在点Pk(xk，yk)处，其中x1?1，y1?1，当k≥2时，? ?y?y?T?k?1??T?k?2?．kk?1??????5??5??T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)?2，T(0.2)?0．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 (1, 2) ；第2008棵树种植点的坐标应为 (3, 402) ． 例4．(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
n2?n?6按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
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例5.（2007上海文、理）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k?1)≥(k?1)成立”． 那么，下列命题总成立的是（ D ） Ａ．若f(1)?1成立，则f(10)?100成立 Ｂ．若f(2)?4成立，则f(1)≥1成立
Ｃ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
Ｄ．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
例6．(2008安徽理)设数列?an?满足a0?0,an?1?can?1?c,c?N,其中c为实数
3*2（Ⅰ）证明：an?[0,1]对任意n?N成立的充分必要条件是c?[0,1]；
*1n?1*，证明：an?1?(3c),n?N; 312222（Ⅲ）设0?c?，证明：a1?a2??an?n?1?,n?N*
31?3c解 (1) 必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c ，
（Ⅱ）设0?c? 又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1 ，即c?[0,1]
3
充分性 ：设 c?[0,1]，对n?N用数学归纳法证明an?[0,1] 当n?1时，a1?0?[0,1].假设ak?[0,1](k?1)
则ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c??0
33*∴ak?1?[0,1]，由数学归纳法知an?[0,1]对所有n?N*成立 1 (2) 设 0?c?，当n?1时，a1?0，结论成立
3 当n?2 时，
32 ∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)
12 ∵0?C?,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?0
3 ∴1?an?3c(1?an?1)
∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c) ∴an?1?(3c)(3) 设 0?c?n?12n?1(1?a1)?(3c)n?1
(n?N*)
122，当n?1时，a1?0?2?，结论成立 31?3cn?1 当n?2时，由（2）知an?1?(3c)?0
2∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)
2(1?(3c)n)2 ?n?1??n?1?1?3c1?3c
例7．(2008江苏) 请先阅读：
在等式cos2x?2cosx?1（x?R）的两边求导，得：(cos2x)??(2cosx?1)??? ， 由求导法则，得(?sin2x)?2?4cosx?(?sinx)，化简得等式：sin2x?2sinxcosx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式(1+x)=Cn?Cnx?Cnx???Cnx （x?R，正整数
，证明：n[(1?x)n≥2）
（2）对于正整数n≥3，求证：
n?1k?1． ?1]??kCknxk?2nn0122nn2212n?1?1kCn?（i）?(?1)kC?0； （ii）?(?1)kC?0； （iii）?．
n?1k?1k?1k?1k?1n0122nn证明：（1）在等式(1?x)=Cn?Cnx?Cnx???Cnx两边对x求导得
nkknnk2knn12n?1n?2nn?1n(1?x)n?1?Cn?2Cnx???(n?1)Cnx?nCnx
移项得 n[(1?x)n?1kk?1?1]??kCnx （*）
k?2n（2）（i）在（*）式中，令x??1，整理得 所以
kk(?1)kC?n?0 k?1n?1?(?1)k?1nk?1kkCn?．0
n（ii）由（1）知n(1?x)12n?1n?2nn?1?Cn?2Cnx???(n?1)Cnx?nCnx,n?3．
n?223nn?2?2Cn?3?2Cnx???n(n?1)Cnx．
两边对x求导，得n(n?1)(1?x) 4
在上式中，令x??1
2Cn(?1)???n(n?1)Cn(?1) 0?2Cn?3?即
232n?2，
?k(k?1)Ck?2nkk?2nkn(?1)k?2?0，
k?kC)n? 0 ①
亦即
?(?1)k(nk?1n2又由（i）知 由①+②得
?(?1)kCkkn ② ?0kn)?(?1kkk?1n02C?． 022nn（iii）将等式(1?x)=Cn?Cnx?Cnx???Cnx两边在[0,1]上对x积分，
1?10122nn(1?x)ndx??(C0?Cx?Cx???Cnnnnx)dx，
01011 由微积分基本定理，得(1?x)n?1n?1?(?1kk?11Cnx)0，
k?0k?1n1k2n?1?1Cn? 所以 ?．
n?1k?0k?1n
例8. （2007湖北理）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>－1时，(1+x)m≥1+mx；
1?1m????1?（Ⅱ）对于n≥6，已知?1???，求证?1?????，m=1,1,2…，n；
2?n?3??n?3??2?（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x,因为x2≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立；
（ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，
k?x??1,?1?x?0,于是在不等式（1?x）?1?kx两边同乘以1+x得
nnm(1?x)k?(1?x)?(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2?1?(k?1)x，
所以(1?x)?1?(k?1)x,即当m?k?1时，不等式也成立.
考点2：演绎推理
“演绎推理”多以客观题形式出现，考查中往往定义新运算或者性质，因此要加强基础知识和概念的复习，在平时训练中通过小题形式反复训练，从各方面进行分析，达到从本质上掌握。
例9．(2007广东理)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是（ A ） A．（a*b）*a=a B．［a*(b*a)］*(a*b)=a C．b*(b*b)=b D．(a*b)* ［b*(a*b)］=b
例10．(2008陕西文、理) 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据
ai?{01组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，其中，}（i?01，，2）
k?1h0?a0?a1，h1?h0?a2，?运算规则为：0?0?0，0?1?1，1?0?1，1?1?0，例如原信息为
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