111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
例11. ( 2007广东文、理)图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为（ C ）
A．18 B．17 C．16 D．15
例12.（2007福建理)中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意aA，都有aa；
（2）对称性：对于a，bA，若ab，则有ba；
（3）传递性：对于a，b，cA，若ab，bc则有ac
则称“”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________。
答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
例13.（2007上海文）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，，x4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，若C可以开工；B，C 完成后，D可以开工．该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是 3 ．
例14.（2007上海文、理）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
1?0； ② (a?b)2?a2?2ab?b2； a2 ③ 若|a|?|b|，则a??b； ④ 若a?ab，则a?b．
① a? 那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ②④ ．
例15．（2008福建理) 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a－b， ab、
a ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集F?a?b2a,b?Q也b??是数域.有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 ③④ .（把你认为正确的命题的序号填填上）
?，ak?(k≥2)，，2，?，k)，例16．（2007北京理（本小题共)13分）已知集合A??a1，a2，其中ai?Z(i?1由A中的元素构成两个相应的集合：S?(a，b)a?A，b?A，a?b?A??，
T??(a，b)a?A，b?A，a?b?A?．其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和
n．若对于任意的a?A，总有?a?A，则称集合A具有性质P．
2，3?是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；1，2，3?与??1，（I）检验集合?0，
k(k?1)（II）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤；
2（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
6
2，31，2，3?不具有性质P．集合??1，解（I）：集合?0，?具有性质P，其相应的集合S和T是S??(?1，，，3)(3?1)?，T??(2，?1)，，?23??．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个．
2，2，?，k)； 因为0?A，所以(ai，ai)?T(i?1，2，?，k)． 又因为当a?A时，?a?A时，?a?A，所以当(ai，aj)?T时，(aj，ai)?T(i，j?1从而，集合T中元素的个数最多为
12k(k?1)k(k?1)，即n≤． (k?k)?222（III）解：m?n，证明如下：
（1）对于(a，b)?S，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而(a?b，b)?T．
如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而a?b?c?d与
b?d中也至少有一个不成立．故(a?b，b)与(c?d，d)也是T的不同元素． 可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n， （2）对于(a，b)?T，根据定义，且a?从而(a?b，b)?S．如果(a，b)与(c，d)a?A，b?A，b?A，
是T的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而a?b?c?d与b?d中也不至少有一个不成立，故(a?b，b)与(c?d，d)也是S的不同元素． 可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m?n．
附：历届高考中的“推理与证明”试题汇编大全 一、选择题：
（2006年） 1.（2006广东）、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)?(c,d)， 当且仅当a?c,b?d；运算“?”为：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)； 运算“?”为：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，设p,q?R， 若(1,2)?(p,q)?(5,0)，则(1,2)?(p,q)?（ B ）
A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,?4) 2．（2006陕西文）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明
文（解密）。已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ C ） A．1,6，4,7 B．4,6，1,7 C．7,6，1,4 D．6,4，1,7 3.（2006北京文）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1`x2`x3，分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ C ）
（A）x1＞x2＞x3 （B）x1＞x3＞x2 （C）x2＞x3＞x1 （D）x3＞x2＞x1
7
???
（2005－－2000年）
1.（2005全国卷Ⅲ文科）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： D E F 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ A ） （A）6E （B）72 （C）5F （D）B0 2．（2005辽宁）在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立， 则（ C ） A．?1?a?1
B．0?a?2
C．?3．（2005湖南文）已知数列{an}满足a1?0,an?1A．0 B．?3 C．3 D．
1331?a? D．??a? 2222a?3?n(n?N*)，则a20=（ B ）
3an?13 24.（2005上海文科）用n个不同的实数a1,a2,?,an可得到n!个不同的排列，每个排列为?1?一行写成一个n!行的数阵对第i行ai1,ai2,?,ain，记1?bi??ai1?2ai2?3ai3??(?1)nnain，i?1,2,3,?,n!例如：用1，2，3可得数阵如图，?2?由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
?2b1?b2???b6??12?2?12?3?12??24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵?3?中，b1?b2???b120等于（ C ） ?3?A．—3600 B．1800 C．—1080 D．—720 5．（2004重庆文科） 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是：（ C ）
A. 258 B. 234 C. 222 D. 210
6．（2002春招上海）一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 （ C ） B B A A E D C
B C (A)D、E、F (B)F、D、E (C)E、F、D (D)E、D、F
23??32?13??31?12??21?? 8
7.（2001江西、山西、天津文、理，广东，全国文、理）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ D ） （A）26 （B）24 （C）20 （D）19
二、填空题：
（2006－－2000年）
1、（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆
图4
的乒乓球总数，则f(3)?_____；f(n)?_____（答案用n表示）. f(3)=10, f(n)?
…
n(n?1)(n?2)
6
2.（2006上海春招）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1,a2,?,an 满足a1?a2???an，则 （结论用数学式子表示）.
a1?a2???ama1?a2???an(1≤m 3．（2005广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点. 若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= 5 ；当n>4时， f(n)= 1(n?1)(n?2) .（用n表示） 2 4．（2005湖南文科）已知平面?,?和直线，给出条件：①m//?；②m??；③m??；④???；⑤?//?. （i）当满足条件 ③⑤ 时，有m//?； （ii）当满足条件 ②⑤ 时，有m??.（填所选条件的序号） nn?15. （2005北京理科）已知n次多项式Pn(x)?a0x?a1x???an?1x?an, 如果在一种算法中，计算x0（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9 k1n(n?3 ) 次运算． 2 下面给出一种减少运算次数的算法：P 1，2，…，n－1）．利0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?1（k＝0， 次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要 用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要 2n 次运算． 6．（2005福建理科、文科）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数f(x)?3?log2x的图象与g(x)的图象关于 对称， 则函数g(x)= 。 9 （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 解：若函数f(x)?3?log2x的图象与g(x)的图象关于y=x对称, 则函数g(x)=2x-3. 7.（2005天津理科）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an?2?an?1?(?1)n (n?N?)则S100=___2600 __ 8．（2004全国卷Ⅰ理科）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 1, n=1, an= n! ,n≥2. 2 9．（2004全国卷Ⅰ文科）已知a、b为不垂直的异面直线，?是一个平面，则a、b在?上的射影有可能是 .①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。 在上面结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）. 10．（2004北京理科）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{an}是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为______3________， 这个数列的前n项和Sn的计算公式为________当n为偶数时，Sn?5n；当n为奇数时，2Sn?51n?________ 。 22 11．（2004北京文科）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为_______3_______，且这个数列的前21项和S21的值为_______52_______ 12．（2004广东）由图（1）有面积关系： VS?PA?B?PA??PB??，则由图（2）有体积关系：P?A?B?C?＝ S?PABPA?PBVP?ABCB B’ A P C’ A’ 图2 A PA'?PB'?PC' . PA?PB?PC P B’ B C A’ 图1 13．（2004春招上海）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_____n2－n+1______个点. （1） （2） （3） （4） （5） 14．（2003天津文科）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 S2△ABC+ S2 22 △ACD + S△ADB = S△BCD ”。 15．（2002上海文、理）若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an= . 10