2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学 编辑： 何国杰
共享你我的资源，大家把自己拥有的完全解析传上来。我所编辑的广东、辽宁卷希望能起到抛砖引玉的作用，广东卷还没有发布标准答案，当中若有不当之处请不吝赐教，联系：heguoje@126.com
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R2 如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k V球?4?R3
3k 次的概率Pn(k)?Cn其中R表示球的半径 Pk(1?P)n?k
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
（１）数z??1?i1?i （Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 【答案】B
?1?ii(1?i)?1??1??1?i 【解答】∵z?1?i1?i∴z所对应的点在第二象限．故选B．
【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．
?1．在复平面内，z所对应的点在 （ ）
（Ｄ）第四象限
（２）极限limf(x)存在是函数f(x)在点x?x0处连续的 （ ）
x?x0（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件
（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要的条件 【答案】B
【解答】∵极限limf(x)存在且limf(x)?f(x0)，则函数f(x)在点x?x0处连续的，
x?x0x?x0
∴极限limf(x)存在是函数f(x)在点x?x0处连续的必要而不充分的条件，故选B．
x?x0【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．
（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为
64C80?C10（Ａ）
10C10064C80?C10（Ｂ）
10C10064C80?C20（Ｃ）
10C10064C80?C20（Ｄ）
10C100【答案】D
1064?C20【解答】从袋中任取10个球有C100种，其中恰有6个红球有C80种，故选D．
【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．
（４）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题： ①若m??，m??，则?//?；
②若???，???，则?//?；
③若m??，n??，m//n，则?//?；
④若m、n是异面直线，m??，m//?，n??，n//?，则?//?，
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其中真命题是
（Ａ）①和②
（Ｂ）①和③
（Ｃ）③和④
（Ｄ）①和④
【答案】D
【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当?与?相交时，若m、n平行于两平面的交线，则m//n，所以③错误；因为若m、n是异面直线，m??，m//?，n??，n//?，当且仅当?//?，所以④正确．
【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决． （５）函数y?ln(x?
x2?1)的反函数是
ex?e?xex?e?xex?e?xex?e?x（Ａ）y? （Ｂ）y?? （Ｃ）y? （Ｄ）y??
2222x2?1)，得ey?x?x2?1，即ey?x?x2?1，
e2y?1ey?e?y2yy两边平方，化简得e?2xe?1，故x?，即x?，
ye2ex?e?x2∴y?ln(x?x?1)的反函数是y?．
2【答案】C
【解答】由y?ln(x?
【点拨】求反函数设法解出x ．
1?a2（６）若log2a?0，则a的取值范围是
1?a11 （Ａ）(,??) （Ｂ）(1,??) （Ｃ）(,1)
22【答案】C
【解答】法一：代特殊值验证
（Ｄ）(0,)
121?0?a??0?2a?1???22 法二：①当?，即时，无解； 1?a?21?alog2a?0???11?a???1?a1?a??2a?1?1??22 ②当?，即时，?a?1，故选C． 1?a?21?a2log?02a??0??11?a??1?a?【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．
（７）在Ｒ上定义运算?：x?y?x(1?y)．若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，
则
（Ａ）?1?a?1
（Ｂ）0?a?2
（Ｃ）?13?a? 22（Ｄ）?31?a? 22【答案】C
【解答】∵(x?a)?(x?a)?(x?a)(1?x?a)，∴不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，则(x?a)(1?x?a)?1对任意实数x成立，即使x2?x?a2?a?1?0对任意实数x成立，所以
??1?4(?a2?a?1)?0，解得?13?a?，故选C． 22－ 2 － (2005辽宁)
【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．
（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是 （Ａ）(1,2) （Ｂ）(2,??) （Ｃ）[3,??) （Ｄ）(3,??) 【答案】B
【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，
∴其中一个角为60o，如图，直角三角形时，m?2， 所以钝角三角形时，有m?2，故选B．
60?【点拨】利用数形结合解题较快捷．
（９）若直线2x?y?c?0按向量a?(1,?1)平移后与圆x2?y2?5相切，则c的值为
（Ａ）８或－２ （Ｂ）６或－４ （Ｃ）４或－６ （Ｄ）２或－８ 【答案】A
?x??x?1?x?x??1【解答】由?，得?，所以2x?y?c?0平移后，得2x??y??3?c?0，其与
??y?y?1y?y?1??|?3?c|圆x2?y2?5相切，即圆心到直线的距离为5，即解得c?8或c??2，故选A． ?5，
5【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理． （10）已知y?f(x)是定义在Ｒ上的单调函数，实数x1?x2，???1，??x1??x2，
1????
【答案】A
【解答】数形结合法：当??0，如图Ａ所示， y 有|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，当??0时， x2??x1．若|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，则
1??（Ａ）??0 （Ｂ）??0 （Ｃ）0???1
（Ｄ）??1
y 如图Ｂ所示，有|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|， 故选A．
【点拨】数形结合解决定比分点问题． O
x x O x1??x2图Ａ ?x1x2?图Ｂ （11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，则
该双曲线与抛物线y2?4x的交点到原点的距离是
（Ｂ）21
（Ｃ）18?122
（Ｄ）21
（Ａ）23?6 【答案】B 【解答】由e?c?3，由一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，得准线为x??1，所a?x2y2222?1axy??以，得?1，故a?3，c?3，b?6，所以双曲线方程为??1，由?36c362??y?4x3，得
交点为(3,?12)，所以交点到原点的距离是21，故选Ｂ． 【点拨】由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程．
（12）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)
得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是
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y 1 1 1 1 x x x x O 1 O O O 1 1 1 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 【答案】A
【解答】由an?1?f(an)，an?1?an，得f(an)?an，即f(x)?x，故选A ． 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.
y y y 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）(x?2x【答案】－160
12?126的展开式中常数项是______________．
)【解答】通项公式为C?(x)r6126?rr?(?2x)?C6?(?2)r?x3?r，
?12rzD C 3由3?r?0，得r?3，所以常数项是C6?(?2)3??160，
【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．
（14）如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的中点，Ａ、 Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD的距离是_____________． 【答案】
A M B y2 3x12【解答】如图建立空间直角坐标系A?xyz，A?(0,0,0)，B?(1,1,0)，D?(0,,1)，M?(0,1,0)，则AB?(1,1,0)，AD?(0,,1)，MB?(1,0,0)设n?(1,x,y)为平面ABCD法向量，则有
12?1?x?0?x??1?1???AB?n?0，即，解得，即n?(1,?1,)，所以点Ｍ到截面ABCD的距离?x?1?2?y?0y?????AD?n?02?2?d?MB?nMB?n?12? ． 331?2【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．
（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４
相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） ．【答案】576
3?23?48种，再将７、８插入4个空【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有A32?12种，故有48?12?576种． 位中的两个有A4【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法
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（16）设S??{?|f(x)?cos[若对每个实数a ，?(x??)]是奇函数}，S?∩(a,a?1)?是正实数，的元素不超过２个，且有a使S?∩(a,a?1)含有２个元素，则?的取值范围是___________． 【答案】(?,2?]
【解答】∵f(x)是奇函数，且x?R，
?∴f(0)?0，∴??，k?Z， ??2?∵S?∩(a,a?1)的元素不超过２个， ∴
k?k????2?(k?1)????2?x(k?2)????2?2???1，∴??2?，
∵且有a使S?∩(a,a?1)含有２个元素， ∴
??1，∴???，∴????2?， ?【点拨】通过数轴得出S?∩(a,a?1)元素个数与两点间距离的关系再求解．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题共12分）。
已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；
(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；
(Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC的边长． ( 18 )（本小题共12分）
如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相 垂直的十字形，其中y?x?0．
(Ⅰ) 将十字形的面积表示为?的函数；
(Ⅱ) ?为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
( 19 )（本小题共12分）
已知函数f(x)?P
A
E F B C
?xyx?3(x??1)．设数列{an}满足a1?1，an?1?f(an)，数列{bn}满足 x?1bn?|an?3|，Sn?b1?b2?…?bn(n?N*)，
(3?1)n2?3(Ⅰ)用数学归纳法证明bn?；(Ⅱ)证明 Sn?．
n?123
（20）（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ
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x y O