级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的 加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生 产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；
表一
概 工 率 序 产品 第一工序 0.8 0.75 表二 一等 5(万元) 2.5(万元) 表三 工人(名) 8 2 第二工序 0.85 0.8
甲 乙 利 等 润 级 产品 （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用?、 ?分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ） 的条件下，求?、?的分布列及E?、E?；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资 金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资 金60万，设x、y分别表示生产甲、乙产品 的数量，在（Ⅱ）的条件下，x、y为何值时
二等 2.5(万元) 1.5(万元) 甲 乙 用 项 量 目 产品 资金(万元) 5 10 z?xE??yE?最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
（21）（本小题满分14分）
甲 乙 x2y2已知椭圆??1(a?b?0)的左、右焦点分别是
a2b2F1(?c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a， 点Ｐ是线段F1Q与该椭圆的交点，点Ｔ在线段F2Q上，并且
满足PT?TF2?0,|TF2|?0．
（Ⅰ）设x为点Ｐ的横坐标，证明 |F1P|?a?y P Ｑ F1O F2x cx； a（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△F1MF2的面积S?b2．若存在，求 ∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由． （22）（本小题满分12分）
函数y?f(x)在区间(0,??)内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0．设
x0?(0,??)，y?kx?m是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，并设函数 g(x)?kx?m．
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m；
（Ⅱ）证明：当x?(0,??)，g(x)?f(x)；
23 （Ⅲ）若关于x的不等式x2?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
2求b的取值范围及a与b所满足的关系．
－ 6 － (2005辽宁)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
(1) B (2) B (3) D (4) D (5) C (6) C (7) C (8) B (9) A (10) A (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
(13) －160 (14)
2 3 (15) 576
(16) (?,2?]
三、解答题
(17)本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分. P （Ⅰ）证明：连结CF.
?PE?EF?∴AP?PC
11BC?AC， 22A
F E O C
?CF?AB,PF?AB，
∴AB?平面PCF， ?PC?平面PCF， ∴PC?AB
∴PC?平面PAB
（Ⅱ）解法一：
……4分
D
?AB?PF,AB?CF,
∴?PFC为所求二面角的平面角.
设AB=a，则PF?EF?a3,CF?a， 22
……8分
a3∴cos?PFC?2?．
33a2解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ??PAF≌?PAE，∴?PAB≌?PAC.
得PA?PB?PC. 于是O是△ABC的中心. ∴?PFO为所求二面角的平面角.
a13,OF??a. 232OF3∴cos?PFO? ……8分 ?.
PF3设AB=a，则PF?－ 7 － (2005辽宁)
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.，
?PC?平面PAB,PA?PB,
∴3x?2R，
?4?R2?12?，
∴R?3，得x?2， ∴?ABC的边长为22.
……12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径. 连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R. ?4?R2?12?， ∴PD?23.
?PO?OFtan?PFO?623x，OA??x，
3263266∴(x)?x(23?x),
366于是x?22，
∴?ABC的边长为22. ……12分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则S?2xy?x
2422（Ⅱ）解法一：S?2sin?cos??cos? 11?sin2??cos2??
2251?sin(2???)? 22其中??arccos25. 5?2sin?cos??cos2?(?????). ……4分
………8分
当sin(2???)?1,即2????所以，当???2时,S最大. ……10分
125arccos时,S最大. 4255?1S的最大值为 ……12分 .
2解法二： 因为S?2sin?cos??cos2?, 所以S??2cos2??2sin2??2sin?cos?
?2cos2??sin2?. ……8分
令S??0，即2cos2??sin2??0,
?1可解得???arctan(?2) ……10分
225?1?1所以，当???arctan(?2)时，S最大，S的最大值为 ……12分 .
222?－ 8 － (2005辽宁)
?19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能
力，满分12分。 （Ⅰ）证明：当x?0时,f(x)?1?2?1. x?1 因为a1=1，所以an?1(n?N*).
……2分
(3?1)n下面用数学归纳法证明不等式bn?.
2n?1 （1）当n=1时，b1=3?1，不等式成立，
(3?1)k （2）假设当n=k时，不等式成立，即bk?. k?12(3?1)|ak?3|那么 bk?1?|ak?1?3|?
1?ak3?1(3?1)k?1 ?bk?. k22所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。
……6分
……8分
(3?1)n（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， bn?. n?12所以 Sn?b1?b2???bn
(3?1)2(3?1)n?(3?1)????
n?1223?1n1?()2 ?(3?1)?3?11?212?(3?1)??3.
33?11?22故对任意n?N?,Sn? 3.
3 ……10分
……12分
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12 分.
P（Ⅰ）解：P ……2分 乙0.75?0.8?0.6. 甲?0.8?0.85?0.68,（Ⅱ）解：随机变量?、?的分别列是
? ? 5 2.5
P P 0.68 0.32
E??5?0.68?2.5?0.32?4.2,
E??2.5?0.6?1.5?0.4?2.1.
2.5 0.6 1.5 0.4 ……6分
－ 9 － (2005辽宁)
?5x?10y?60,?（Ⅲ）解：由题设知?8x?2y?40,
??x?0,??y?0.目标函数为
z?xE??yE??4.2x?2.1y. ……8分 作出可行域（如图）：
y
l1
Ml
o8x?2y?405x?10y?60x
4.2x?2.1y?0
作直线l: 4.2x?2.1y?0,
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时z?4.2x?2.1y ……10分
……12分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y). y Ｑ 由P(x,y)在椭圆上，得 P ?5x?10y?60,
?8x?2y?40.得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2 .
取最大值. 解方程组?b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa
c?(a?x)2.a
2222F1O F2x ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x. ……3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
由x?a,知a?则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
由r1?r2?2a,r12?r22?4cx，得
cx． a证法三：设点P的坐标为(x,y).
c椭圆的左准线方程为a?x?0.
a|F1P|?r1?a?－ 10 － (2005辽宁)