2由椭圆第二定义得|F1P|?c，即|F1P|?c|x?a|?|a?cx|.
acaaa2|x?|c 由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x. ……3分 aa
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上. 当|PT|?0且|TF2|?0时， 由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2.
又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点.
1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a. ……7分
在△QF1F2中，|OT|?
解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x??c?x?,??2 设点Q的坐标为（x?,y?），则??y?y?.?2??x??2x?c,因此? ①
?y??2y.222由|F1Q|?2a得(x??c)?y??4a. ②
将①代入②，可得x?y?a.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a. ……7分
222222 （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④
由③得|y0|?a，
b2. 由④得|y0|?c2b所以，当a?时，存在点M，使S=b2； c
2b当a?时，不存在满足条件的点M. c ……11分
当a?b时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)，
c由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，
2222222MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
－ 11 － (2005辽宁)
S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得 2tan?F1MF2?2.
解法二：
C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
③ ?x2?y2?a2,0 ??10??2c|y0|?b.?22
④
b2由④得|y0|?. 上式代入③得
cb4b2b2x?a?2?(a?)(a?)?0.
ccc2于是，当a?b时，存在点M，使S=b2；
c202
当a?b时，不存在满足条件的点M.
c2 ……11分
2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1x0?cx0?cc由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以
tan?F1MF2?|
k1?k2|?2.
1?k1k2 ……14分
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函
数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).
……2分
（Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0.
因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；当x?x0时,h?(x)?0. 所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的最小值为0，因此h(x)?0,即
g(x)?f(x).
……6分
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
12223 另一方面，由于f(x)?x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，
2223333ax?b?x的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?x相切的直线的斜率大于a，该切线的
22方程为y?(2b)
?122x?b.
2133于是ax?b?x的充要条件是a?(2b)2.
2 ……10分
－ 12 － (2005辽宁)
3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
222(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得
?2(1?b). ②
122?22?2?b?. ③ 44 ……12分
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
21222
2 ……8分
33令?(x)?ax?b?x3，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22?(x)?0. 由??(x)?a?x?0得x?a?3.
?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a?3时，??(x)?0，所以，当x?a?3时，?(x)取最小值.因
?3?13此?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b)
2?12. ………10分
综上，不等式x2?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
2(2b)(2b)?12?a?2(1?b). ① ?2(1?b) ②
2?22?2?b?. 44
……12分
1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
?12有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
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