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22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．
专题： 概率与统计．
分析： （I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有
，然后求出取出的4张卡片中，
含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 解答： 解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 P（A）=
=
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 （II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4 P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）==
P（X=4）==
X的分布列为 EX=x P
1
2
3
=
4
点评： 本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
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23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角． 专题： 计算题；证明题；转化思想．
分析： （1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可 解答： 解：（1）由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角． 设P为AD的中点，连接EP，PC．
∥∥∥
因为FE=AP，所以FA=EP，同理AB=PC． 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD． 而PC，AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a， 则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°． 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°． （2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ 由PC=PD，CE=DE ∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角， 由ED=CD=
a，在等边△ECD中EQ=
a
． ．
a
在等腰Rt△CPD中，PQ=在Rt△EPQ中，cos∠EQP=
故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为
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点评： 本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．
22
24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x﹣y=1相交于两点A，B． （1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
2222
分析： （1）联立直线y=kx+1与双曲线3x﹣y=1可得（3﹣k）x﹣2kx﹣2=0，由△＞0，
2
且3﹣k≠0，解得即为k的范围；
（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=
，
x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．
解答： 解：（1）由
2
，得（3﹣k）x﹣2kx﹣2=0，
22
由△＞0，且3﹣k≠0，
得﹣＜k＜，且k≠±；
（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点． 设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB， 所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=
2
，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=kx1x2+k（x1+x2）+1， 2
∴kx1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0， 即
+
+1+
=0，
∴+1=0，解得k=±1．
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经检验，k=±1满足题目条件，
则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．
点评： 本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．
25．（8分）已知函数
，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）求导函数，可得
，由于分母恒正，故由分子
的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）求导函数，可得
，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）． ②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得∴f（x）的单调减区间为
，由f'（x）＜0解得x＜
，单调增区间为
．
，
（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1； 当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在
处取得最小值
＜f（0）=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．
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