对于平面拉伸，有
(5)
其中，λ，λ，λ分别表示加载方向、宽度方向以及厚度方向拉伸比.
1
2
3
根据大形变测试结果，采用非线性最小二乘法对Mooney Rivlin，Poly-N2，Neo Hookean，Yeoh，Arruda Boyce，Van der Waals以及一阶和三阶Ogden模型分别进行参数拟合，均方根误差详见表1.表中Van der Waals对单轴拉伸、单轴压缩、平面拉伸试验的拟合结果具有较小均方根(RMS)误差，可知其最能准确描述该组橡胶材料在不同应变状态下的超弹性特性.Van der Waals模型表达式为
(6)
(7)
(8)
式(6)～(8)中：μ为初始剪切模量；λm, a, η为材料参数.参数拟合结果见表2.此外，该组材料的邵氏硬度HA=70°，泊松比λ=0.495.
另一方面，可根据小形变试验结果拟合得到线弹性模量和不同试验条件下的表征压缩模量，详见表3.由于橡胶材料的特殊性，线性拉伸模量与表征压缩模量差值较大，不同测试边界条件和试件几何尺寸下测得的压缩模量亦有所区别.尤
其当边界条件相对严格时，压缩试件上、下表面横向约束力较大，表征压缩模量对试件尺寸十分敏感.
表1 最小二乘法均方根误差
Tab.1 RMS error of least square method
表2 Van der Waals模型参数拟合结果
Tab.2 Evaluation of Van der Waals model parameters
表3 线弹性杨氏模量及表征压缩模量拟合结果
Tab.3 Evaluated Young’s modulus and apparent compressive modulus
2.2 分析和讨论
2.2.1 超弹性与线弹性特征参数对比
已知大形变试验测试结果及Van der Waals模型数值拟合结果，可通过表达式
(9)
确定材料体积压缩模量B=204.72 MPa.再通过表达式
(10)
确定材料杨氏模量E=6.14 MPa.
0
另一方面，由小形变单轴拉伸试验结果可知材料线性范围内的弹性模量约为6 MPa，即E=6.00 MPa，结合公式(10)可得线性剪切模量G=2.00 MPa，该
lin
lin
组小形变试验获得的E和G与大形变试验测得的初始杨氏模量E和剪切模量μ
lin
lin
0
=G基本保持一致.
0
2.2.2 表征压缩模量与杨氏模量的关系
如图5～7和表3可知，小形变单轴拉伸试验能够较准确地确定杨氏模量，但表征压缩模量却对测试条件和试件几何参数十分敏感，小形变试验获取的杨氏模量与压缩模量的内在关联需采用不同的理论模型加以描述才能满足，最常见的关系预测公式如下：
E/E=[1+3λ(1-λ)/(1+λ)/S]/
a
2
[1+3λ(1-2λ)S]
2
(11)
1/E=1/E/(1+2φS)+1/B
a
2
(12)
1/E=1/E/(1.2+2S)+1/B
a
2
(13)
1/E=
a
(14)
式(11)～(14)中：E为表征压缩模量；E为杨氏模量；S为形状因子；B为体
a
积模量；φ为压缩系数.取杨氏模量E=6 MPa，体积压缩模量B=204.72 MPa，选取相应压缩系数φ=0.68，可通过上述公式预测得到表征压缩模量，结果如表
[1]
4所示.与表3中小形变单轴压缩测试结果相比，公式(11)可相对准确地预测边界条件①和形状因子为S的单轴压缩测试结果；而对于试件几何特征保持不变边
3
界条件②下进行的压缩测试结果，公式(12)的计算精度相对准确；当边界约束更改为条件③时，压缩试件形状因子对表征压缩模量的影响，只能通过公式(14)才能描述.综上所述，通过小形变力学试验及线弹性理论确定某橡胶元件力学特征的方法具有一定局限性，不仅无法获取大形变范围可能发生的非线性特征，压缩测试结果也易于受到试件尺寸和边界条件等因素影响.杨氏模量与表征压缩模量理论关系的预测公式需视情况而定.
表4 表征压缩模量预测模型和结果
Tab.4 Prediction model of apparent compressive modulus and results
3 仿真分析
本文进一步利用有限元手段采用非线性模型对大形变试验进行仿真分析，通过一组试验数据与仿真结果的比较，验证计算过程的有效性；而后通过仿真分析预测不同工况下单轴压缩应力-应变关系，与不同试件尺寸和边界条件下进行的小形变压缩试验结果进行比较，最终目的是验证大形变试验结合超弹性理论和仿真分析是大形变以及压缩为主的复杂形变橡胶元件设计-生产-优化过程最合理有效的方法.
图8所示为大形变试验仿真计算过程，其中图8a和图8b表示小形变试验仿真过程.橡胶材料均采用实体单元C3D8R，单轴压缩试验PTFE块和铁块以及平面拉伸试验的铝片均采用刚体单元R3D4.压缩试验橡胶试件与PTFE块/铁块的垂向接触属性设为“硬接触”，即当两表面间隙为零时定义为接触，接触面之间产生并传递接触应力，接触行为通过节点约束，节点之间不允许发生穿透行为；切向通过罚函数接触算法定义，由于边界条件①几乎不存在横向摩擦，因此摩擦系数设置为0时的仿真结果与试验结果能够较好吻合.同理，单轴压缩边界条件②和③的切向接触属性通过设置横向摩擦系数0.5和0.3进行模拟.平面拉伸试验铝片与橡胶元件之间的黏结通过“绑定接触”定义，接触面间隙为零，且不允许发生相对位移.橡胶材料属性采用Van der Walls模型和表1中的参数进行描述，赋予橡胶材料超弹性特征.
由图8可见，大形变试验仿真过程单轴拉伸沿x方向50 mm，最大应变量100%；单轴压缩沿z方向6 mm，压缩应变达50%.平面拉伸沿y方向约9 mm，应变量最大约为75%，该值小于测试目标100%，但大于由于铝片与试件发生脱落导致的实际最大应变量65%.图8仅示意仿真过程及加载情况，计算结果详见图4～7.图4中，单轴拉伸、平面拉伸和单轴压缩试验应力-应变曲线与实测