G＝tf(num，den); （4）
例2 一个简单的传递函数模型:
G(s)?s?5 432s?2s?3s?4s?5可以由下面的命令输入到MATLAB工作空间中去。 >> num=[1，5];
den=[1，2，3，4，5]; G=tf(num，den) 运行结果：
Transfer function:
s + 5
----------------------------- s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5
这时对象G可以用来描述给定的传递函数模型,作为其它函数调用的变量。 例3 一个稍微复杂一些的传递函数模型：
G(s)?6(s?5)
(s2?3s?1)2(s?6)该传递函数模型可以通过下面的语句输入到MATLAB工作空间。 >> num=6*[1，5];
den=conv(conv([1，3，1]，[1，3，1])，[1，6]); tf(num,den) 运行结果
Transfer function: 6 s + 30
----------------------------------------- s^5 + 12 s^4 + 47 s^3 + 72 s^2 + 37 s + 6
其中conv()函数（标准的MATLAB函数）用来计算两个向量的卷积，多项式乘法当然也可以用这个函数来计算。该函数允许任意地多层嵌套，从而表示复杂的计算。 2.零极点模型
线性系统的传递函数还可以写成极点的形式：
G(s)?K(s?z1)(s?z2)???(s?zm) （5）
(s?p1)(s?p2)???(s?pn)将系统增益、零点和极点以向量的形式输入给三个变量KGain、Z和P，就可以将系统的零极点模型输入到MATLAB工作空间中，命令格式为：
KGain?K; (6)
(7) Z?[?z1；?z2；???；?zm]； (8) P?[?p1；?p2；???；?pn]；- 6 -
在MATLAB控制工具箱中，定义了zpk()函数，由它可通过以上三个MATLAB变量构造出零极点对象，用于简单地表述零极点模型。该函数的调用格式为：
G=zpk(Z,P,KGain) (9)
例4 某系统的零极点模型为： G(s)?6(s?1.9294)(s?0.0353?0.9287j)
(s?0.9567?1.2272j)(s?0.0433?0.6412j)该模型可以由下面的语句输入到MATLAB工作空间中。
>> KGain=6;
z=[-1.9294；-0.0353+0.9287j；-0.0353-0.9287j];
p=[-0.9567+1.2272j；-0.9567-1.2272j；0.0433+0.6412j；0.0433-0.6412j]; G=zpk(Z，P，KGain)
运行结果:
Zero/pole/gain:
6 (s+1.929) (s^2 + 0.0706s + 0.8637)
---------------------------------------------- (s^2 - 0.0866s + 0.413) (s^2 + 1.913s + 2.421)
注意：对于单变量系统，其零极点均是用列向量来表示的，故Z、P向量中各项均用分号（;）隔开。
3. 反馈系统结构图模型
设反馈系统结构图如图5所示。
控制系统工具箱中提供
了feedback()函数，用来求
图5 反馈系统结构图
取反馈连接下总的系统模
型，该函数调用格式如下：
G=feedback(G1,G2,sign); （10）
其中变量sign用来表示正反馈或负反馈结构，若sign=-1表示负反馈系统的模型，若省略sign变量，则仍将表示负反馈结构。G1和G2分别表示前向模型和反馈模型的LTI(线性时不变)对象。
例5 若反馈系统图5中的两个传递函数分别为： G1(s)?11G(s)?， 2s?1(s?1)2则反馈系统的传递函数可由下列的MATLAB命令得出
>> G1=tf(1,[1,2,1]); G2=tf(1,[1,1]); G=feedback(G1,G2) 运行结果:
- 7 -
Transfer function:
s + 1
--------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 2
若采用正反馈连接结构输入命令
>> G=feedback(G1,G2,1) 则得出如下结果:
Transfer function: s + 1
----------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s
例6 若反馈系统为更复杂的结构如图6所示。其中
10s?51s3?7s2?24s?24G2(s)?H(s)?G1(s)?4，， 32s0.01s?1s?10s?35s?50s?24则闭环系统的传递函数可以由下面的MATLAB命令得出：
>> G1=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]);
G2=tf([10,5],[1,0]); H=tf([1],[0.01,1]); G_a=feedback(G1*G2,H)
得到结果：
Transfer function:
0.1 s^5 + 10.75 s^4 + 77.75 s^3 + 278.6 s^2 + 361.2 s + 120
-------------------------------------------------------------------- 0.01 s^6 + 1.1 s^5 + 20.35 s^4 + 110.5 s^3 + 325.2 s^2 + 384 s + 120
4. 有理分式模型与零 极点模型的转换
图6 复杂反馈系统
有了传递函数的
有理分式模型之后，求取零极点模型就不是一件困难的事情了。在控制系统工具箱中，可以由zpk()函数立即将给定的LTI对象G转换成等效的零极点对象G1。该函数的调用格式为： G1=zpk(G) (11)
例7 给定系统传递函数为：
6.8s2?61.2s?95.2 G(s)?4 32s?7.5s?22s?19.5s对应的零极点格式可由下面的命令得出 >> num=[6.8, 61.2, 95.2];
- 8 -
den=[1, 7.5, 22, 19.5, 0]; G=tf(num,den); G1=zpk(G) 显示结果：
Zero/pole/gain:
6.8 (s+7) (s+2)
------------------------- s (s+1.5) (s^2 + 6s + 13) 可见，在系统的零极点模型中若出现复数值，则在显示时将以二阶因子的形式表示相应的共轭复数对。
同样，对于给定的零极点模型，也可以直接由MATLAB语句立即得出等效传递函数模型。调用格式为：
G1=tf(G) (12) 例8 给定零极点模型：
G(s)?6.8(s?2)(s?7))
s(s?3?j2)(s?1.5)可以用下面的MATLAB命令立即得出其等效的传递函数模型。输入程序的过程中要注意大小写。
>> Z=[-2,-7];
P=[0,-3-2j,-3+2j,-1.5]; K=6.8;
G=zpk(Z,P,K); G1=tf(G)
结果显示：
Transfer function:
6.8 s^2 + 61.2 s + 95.2
------------------------------- s^4 + 7.5 s^3 + 22 s^2 + 19.5 s
5. Simulink建模方法
在一些实际应用中，如果系统的结构过于复杂，不适合用前面介绍的方法建模。在这种情况下，功能完善的Simulink程序可以用来建立新的数学模型。Simulink是由Math Works 软件公司1990年为MATLAB提供的新的控制系统模型图形输入仿真工具。它具有两个显著的功能：Simul(仿真)与Link(连接)，亦即可以利用鼠标在模型窗口上“画”出所需的控制系统模型。然后利用SIMULINK提供的功能来对系统进行仿真或线性化分析。与MATLAB中逐行输入命令相比，这样输入更容易，分析更直观。下面简单介绍SIMULINK建立系统模型的基本步骤：
（1） SIMULINK的启动：在MATLAB命令窗口的工具栏中单击按钮
或者在命令提示符>>
下键入simulink命令，回车后即可启动Simulink程序。启动后软件自动打开Simullink模型库窗口，如图 7所示。这一模型库中含有许多子模型库，如Sources(输入源模块库)、Sinks(输出显示模块库)、Nonlinear(非线性环节)等。若想建立一个控制系统结构框图，则应该选择File| New菜单中的Model选项，或选择工具栏上new Model
按钮，打开一个
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空白的模型编辑窗口如图 8所示。
(2) 画出系统的各个模块：打开相应的子模块库，选择所需要的元素，用鼠标左键点中后拖
图 7 simulink 模型库
图8 模型编辑窗口
到模型编辑窗口的合适位置。 (3) 给出各个模块参数：由于选中的各个模块只包含默认的模型参数，如默认的传递函数模
型为1/(s+1)的简单格式，必须通过修改得到实际的模块参数。要修改模块的参数，可以用鼠标双击该模块图标，则会出现一个相应对话框，提示用户修改模块参数。
(4) 画出连接线：当所有的模块都画出来之后，可以再画出模块间所需要的连线，构成完整
的系统。模块间连线的画法很简单，只需要用鼠标点按起始模块的输出端（三角符号），再拖动鼠标，到终止模块的输入端释放鼠标键，系统会自动地在两个模块间画出带箭头的连线。若需要从连线中引出节点，可在鼠标点击起始节点时按住Ctrl键，再将鼠标拖动到目的模块。
(5) 指定输入和输出端子：在Simulink下允许有两类输入输出信号，第一类是仿真信号，
可从source(输入源模块库)图标中取出相应的输入信号端子，从Sink(输出显示模块库)图标中取出相应输出端子即可。第二类是要提取系统线性模型，则需打开Connection(连接模块库)图标，从中选取相应的输入输出端子。
例9 典型二阶系统的结构图如图9所示。用SIMULINK对系统进行仿真分析。
图9 典型二阶系统结构图
按前面步骤，启动simulink并打开一个空白的模型编辑窗口。
（1） 画出所需模块，并给出正确的参数：
? 在sources子模块库中选中阶跃输入（step）图标，将其拖入编辑窗口，并用鼠标
左键双击该图标，打开参数设定的对话框，将参数step time(阶跃时刻)设为0。 ? 在Math(数学)子模块库中选中加法器（sum）图标，拖到编辑窗口中，并双击该图
标将参数List of signs(符号列表)设为|+-（表示输入为正，反馈为负）。
? 在continuous(连续)子模块库中、选积分器（Integrator）和传递函数（Transfer
Fcn）图标拖到编辑窗口中，并将传递函数分子（Numerator）改为〔900〕，分母
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