cosx tanx ex ln1+x) ln(1-x) §5.积分
x<1 ?1 ∞ ∞ |x|<|x|<∞ |x|<-1 (1)变速直线运动的路程 我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v，则它在ta 到tb一段时间间隔内走过的路程是 s＝v(tb－ta). (A.45) 对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数： v＝v(t)， 函数的图形是一条曲线(见图A-10a)，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线(参见图A-4b)。对于变速直线运动，(A.45)式已不适用。但是，我们可以把t＝ta到t＝tb这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到ta到tb这段时间里走过的总路程。 21 设时间间隔(tb－ta)被t＝t1(=ta)、t2、t3、?、tn、tb分割成n小段，每小段时间间隔都是△t，则在t1、t2、t3、?、tn各时刻速率分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、?、v(tn)。如果我们把各小段时间的速率v看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于v(t1)△t、v(t2)△t、v(t3)△t、?、v(tn)△t.于是，在整个(tb-ta)这段时间里的总路程是 现在我们来看看上式的几何意义。在函数v＝v(t)的图形中，通过t=t1、t2、t3、?、tn各点垂线的高度分别是v(t1)、v(t2)、v(t3)、?、v(tn)(见图A-10b)，所以v(t1 )△t、v(t2)△t、v(t3)△t、?、v(tn)△t就分 这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。 在上面的计算中，我们把各小段时间△t里的速率v看做是不变的，实 际上在每小段时间里v多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确。要使计算精确，就需要把小段的数目n加大，同时所有小段的△t缩短(见图A-10c)。△t愈短，在各小段里v就改变得愈少，把各小段里的运动看成匀速运动也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程s，我们就 应对(A.46)式取n→∞、△t→0的极限，即 当n愈来愈大，△t愈来愈小的时候，图A-10中的阶梯状图形的面积 就愈来愈接近v(t)曲线下面的面积(图A-10d)。所以(A.47)式中的极限值等于(tb－ta)区间内v(t)曲线下的面积。 22 总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(tb－ta)里走过的路程要用(A.47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内v(t)曲线下的面积。 (2)变力的功 当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s＝sa移到s＝sb的过程中，恒力F对它所作的功为 A＝F(sb－sa) A.48) 如果力F是随位置变化的，即F是s的函数：F＝F(s)，则不能运用(A.48)式来计算力F的功了。这时，我们也需要象计算变速运动的路程那样，把(sb－sa)这段距离分割成n个长度为△s的小段(见图A-11) 并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程△s上的功，然后加起来取n→∞、△s→0的极限值。具体地说，设力F在各小段路程内的数值分别为F(s1)、F(s2)、F(s3)、?、F(sn)，则在各小段路程上力F所作的功分别为F(s1)△s、F(s2)△s、F(s3)△s、?、F(sn)△s.在(sb－sa)整段路程上力F的总功A就 都是变化的，所以严格地计算，还应取n→∞、△s→0的极限值，即 同上例，这极限值应是(sb－sa)区间内F(s)下面的面积(见图A-12)。 23 5 2定积分 以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x)，用x＝x1(=a)、x2、x3、?、xn、b把自变量x在(b－a)区间内的数值分成n小段，设每小段的大小为△x，求n→∞、△x→0时 函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限。 用定积分的符号来表示，(A.47)和(A.49)式可分别写为 在变速直线运动的路程公式(A.51)里，自变量是t，被积函数是v(t)，积分的上、下限分别是tb和ta；在变力作功的公式(A.52)里，自变量是s，被积函数是F(s)，积分的上、下限分别是sb和sa. 求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理： 如果被积函数f(x)是某个函数Ф(x)的导数，即 f(x)=Ф′(x)， 则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于Ф(x)在这区间内的增量，即 现在我们来证明上述定理。 在a?x?b区间内任选一点xi，首先考虑Ф(x)在x=xi到x=xi+△x≡xi+1 区间的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)： 24 但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故 △Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x. 式中≈表示“近似等于”，若取△x→0的极限，上式就是严格的等式。 把a?x?b区间分成n－1小段，每段长△x.上式适用于每小段。根据积分的定义和上式，我们有 因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理证讫。 下面看看函数Ф(x)在f-x图(见图A-13)中所表现的几何意义。如前所述，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)=f(xi)△x，正是宽为△x、高为 积。它和曲线段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面积只是相差一小三角形PiNPi ＋1的面积。当△x→0时，可认为△Ф(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面积。 既然当x由xi变到xi+1时，Ф(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，则Ф(x)本身的几何意义就是从原点O到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C＝Ф(0).例如Ф(xi)的几何意义是图形OxiPiP0的面积加C，Ф(xi＋1)的几何意义是图形Oxi+1Pi+1P0的面积加C，等等。这样，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)就是： (Oxi+1Pi+1P0的面积+C) -(OxiPiP0的面积+C) =xixi+1Pi+1Pi的面积， 而Ф(b)-Ф(a)的几何意义是： (ObPbP0的面积+C) －(OaPaP0的面积+C) ＝abPbPa的面积。 25