用几何运算法来验证上述法则，也不算太困难，特别是利用三角形来表示的话。
并不是所有带有方向的物理量都服从上述叠加法则的(如大角度的角位移就是例外，见第四章)，不符合这法则的物理量不是矢量。
3.矢量的标积
设A和B是两个任意矢量，它们的标积(常用A2B表示，故又称点乘)的解析定义为如下标量：
A2B=AxBx＋AyBy+AzBz. (B.9)
由此定义不难看出，点乘是服从交换律和分配律的： A2B＝B2A， (交换律) (B.10)
A2(B＋C)＝A2 B＋ A2C， (分配律)(B.11) 下面看点乘的几何意义。把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而Az=Bz=0.令A、B与Ox轴的夹角分别为α、β(见图B－9)，则Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝B cosβ，By=B sinβ，标积
A2B＝AxBx＋AyBy
＝AB(cosα cosβ＋sinα sinβ) ＝AB cos(β－α)，
即 A2 B＝AB cosθ， (B.12)
式中θ＝β－α为两矢量之间的夹角。(B.12)
式可看作是标积的几何定义。从这个定义可立即看出：A、B平行时，θ＝0，标积 A2B＝AB；A、B反平行时，θ=π，标积A2B＝- AB；A、B垂直时，θ＝π/2，标积A2B＝0.一般说来，θ为锐角时，标积取正值；θ为钝角时，标积取负值。一个矢量A与自身的标积A2A＝A2.
在物理学中标积的典型例子是功(见第三章1.5节)。
4.矢量的矢积
设A和B是两个任意矢量，它们的矢积(常用A3B表示，故又称叉乘)的解析定义为如下矢量：
A3B＝(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBy－AyBx)k
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由此定义不难看出，点乘是服从反交换律和分配律的： A3B=-B3A， (反交换律) (B.14)
A3(B＋C)＝ A3B＋A3C，(分配律) (B.15)
下面看叉乘的几何意义。同前，把A、B两矢量的起点O叠在一起，二者决定一个平面，取此平面为直角坐标系的xy面，从而Az＝Bz＝0。令A、B与Ox轴的夹角分别为α、β，则Ax=Acosα，Ay＝Asinα，Bx＝Bcosβ，By= Bsinβ，矢积
A3B＝(AxBy-AyBx)k＝AB(cosαsinβ－sinαcosβ)k
=AB sin(β-α)k.
即矢积C=A3B＝ABsinθk， (B.16)
式中θ=β-α为两矢量之间的夹角。当β＞α时，θ＞0，C沿k的正方向；当β＜α时，θⅡ＜0，C沿k的负方向。由于我们采用的是右手坐标系，C的指向可用如图B－10a所示的右手定则来判断：设想矢量A沿小于180°的角度转向矢量B.将右手的四指弯曲，代表上述旋转方向，则伸直的姆指指向它们的矢积C.
(B.16)式可看作是矢积的几何意义：矢量A、B的矢积C＝A3B的数值C＝AB sinθ，正好是由A、B为边组成的平行四边形的面积(见图B－10b)；C的方向与A和B组成的平面垂直，其指向由上述右手定则来规定。从这个定义可立即看出：A、B平行或反平行时，θ＝0或π，矢积C＝A3B＝0；A、B垂直时，θ＝π/2，矢积的数值 C＝｜A3B｜＝ AB最大。一个矢量A与自身的矢积A3A＝0.
在物理学中矢积的典型例子有角动量、力矩等(见第四章§1)。
5.矢量的三重积
物理学中经常遇到矢量的三重积。最常见的三重积有以下两个。 (1)三重标积A2(B3C)
这三重积是个标量。不难验证，此三重积的解析表达式为
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从几何上看，因｜B3C｜是以B和C为边组成平行四边形的面积，矢积B3C的方向沿其法线，故而再与A点乘，相当于再乘上A在法线上的投影。亦即，这三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱组成的平行六面体的体积(见图B-11)，其正负号与三矢量的循环次序有关。由于计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关，点乘又是可交换的，所以A、B、C三矢量的轮换，以及2和3的位置对调，都不影响此三重积的计算结果。唯一要注意的是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号。概括起来写成公式，我们有
A2(B3C)＝B2(C3A)＝C2(A3B)
＝(A3B)2 C＝(B3C)2 A＝(C3A)2 B ＝-A2(C3B)＝- C2(B3A)＝－B2(A3C)
＝-(A3C)2 B＝-(C3B)2 A=-(B3A)2 C.(B.18)
从解析表达式(B.17)来看(B.18)式的成立，就更显然了。
最后提请注意：在A、B、C三个矢量中有任意两个平行或反平行时，三重标积为0.
(2)三重矢积A3(B3C)
这三重积是个矢量。矢积B3C与B、C组成的平面Ⅱ垂直，而A与它的矢积又回到Ⅱ平面内。故矢量A3(B3C)与B、C共面。(见图B-12)，从而前者是后面二者的线性组合：A3(B3C)＝a1B＋a2C.用矢量的解析表达式可以直接验证，a1＝A2C，a2＝－A2B，亦即存在下列恒等式：
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A3(B3C)=( A2 C)B－(A2 B)C. (B.19) 这是有关这三重积最重要的恒等式。
6.极矢量和轴矢量
左手在镜子中的象是右手，右手在镜子中的象是左手。我们说，左右手具有镜象对称。一般说来，所谓对称性，就是在某种操作下的不变性。与镜象对称相联系的是空间反射操作。在这种操作下，沿镜面法线方向的坐标z→_z，其它方向不变，于是左手坐标系变成了右手坐标系(见图B-13)。
物理学中有各种矢量，它们在空间反射操作下怎样变换？对于位矢r来说，这是清楚的：与镜面垂直的分量反向，平行分量不变。与r相联系的速度v、加速度a、乃至力f等矢量都应有相同的变换规律。但存在另一类矢量，它们在空间反射操作下具有不同的变换规律。在第二章5.4节里按右手螺旋法则把角速度ω定义成矢量(见图2－50)，这定义的前提是采用右手坐标系。如图B－14所示，在空间反射操作下，ω与镜面垂直的分量不变，平行的分量却反向。和ω相似，角速度、角加速度、角动量、力矩等矢量，都具有这样的变换规律通常把在空间反射变换下服从前一类变换规律的矢量叫做极矢量，后一类的叫做轴矢量。应指出，两个极矢量叉乘，得到的是轴矢量。实际上许多轴矢量都能写成两个极矢量叉乘的形式。例如一个质点的角动量J=mr3v，力矩M＝r3f，等等。
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习 题
B－1.有三个矢量A=(1，0，2)、B＝(1，1，1)、C=(2，2，-1)，试计算： (1)A2B， (2)B2 A， (3) B2C，
(4)C2A， (5)A2(B＋C)， (6)B2(2A-C)， (7)A3B， (8)A3(2B＋C)， (9)A2(B3C)，
(10)(A2 B)C， (11)(A3B)3C， (12) A3(B3C). B－2.证明下列矢量恒等式：
(1)(A3B)3C＝(A2C)B-(B2C)A，
(2)(A3B)2(C3D)＝(A2C)(B2D)－(A2D)(B2C).
B-3.有三个矢量a=(1，2，3)、b＝(3，2，1)、c＝(1，0，1)，试计算： (1)三个矢量的大小和方向余弦； (2)两两之间的夹角；
(3)以三矢量为棱组成平行六面体的体积和各表面的面积。 B-4.试证明：
(1)极矢量A和B的矢积A3B是轴矢量；
(2)极矢量A和轴矢量B的矢积A3B是极矢量。
三 复数的运算
1.复数的表示法
的点，或对应于复平面中的一个长度为A、仰角为?的矢量(见图C－1)。与此相应地复数有下列两种表示法：
(C.1)式是复数的直角坐标表示，对应点的横坐标x为复数的实部，记作
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