第四章 多元函数微分学
一、本章知识脉络框图
重极限与累次极限 极限存在的判别方法 极 限 极限与连续 基本概念 连 续 有 界 性 基本性质 极值和最值 介 值 性 多元函数微分学 偏 导 数 概念 可 微 性 可微和连续 可微的必要条件 可微的充分条件 df=fxdx+fydy+fzdz 全微分（三元为
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例） 复合函数微分 计 算 隐函数微分 参数方程微分 高阶导数与微分 应 用 多元极值 泰勒公式 条件极值 切线、法线、法平面、切平面
二、本章重点及难点
本章需要重点掌握以下几个方面内容： ?
偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. ? ? ?
隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.
三、本章的基本知识要点
(一)平面点集与多元函数
1.任意一点A与任意点集E的关系.
1) 内点. 若存在点A的某邻域U?A?，使得U?A??E，则称点A是点集E的内点。 2) 外点. 若存在点A的某邻域U?A?，使得U?A??E??，则称点A是点集E的外点。
3) 界点（边界点）. 若在点A的任何邻域内既含有属于E得的点，又含有不属于E的点，则称点A是点集E的界点。 4) 聚点. 若在点A的任何空心邻域Uo?A?内部都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点。
5) 孤立点. 若点A?E，但不是E的聚点，则称点A是点集E的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集.
1) 开集. 若平面点集E所属的每一点都是E的内点，则称E为开集。
2）闭集. 若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集。 3) 开域. 若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E得有限折线相连接，则称E为开域。
4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。
5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.R2上的完备性定理.
21) 点列收敛定义：设?Pn??R为平面点列，P0?R为一固定点。若对任给的正数?，
2存在正整数N，使得当n?N时，有Pn?U?P0,??，则称点列?Pn?收敛于点P0，记作
limPn?P0 或 Pn?P0,?n???.
n?? 2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列?Pn?收敛的充要条件是：任给正数?，存在正整
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数N，使得当n?N时，对一切自然数k，都有??Pn,Pn?k???. 3）闭区域定理. 设?Dn?是R2中的闭域列，它满足：
(i) Dn?Dn?1,n?1,2,...;(ii) dn?d?Dn?,limdn?0.
n??则存在唯一的点P0?Dn,n?1,2,....
4) 聚点定理. 设E?R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点。
5) 有限覆盖定理. 设D?R2为一有界闭域，????为一开域族，它覆盖了D（即，则在????中必存在有限个开域?1,?2,...?m，它们同样覆盖了D（即D????）
?mD????）。
i?14. 二元函数
定义：设平面点集D?R2，若按照某对应法则f，D中每一点P?x,y?都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数（或称f为D到R的一个映射），记作
f:D?R,
P?z，
且称D为f的定义域，P?D所对应的z为f在点P的函数值，记作z?f?P?或z?f?x,y?。（注：其它多元函数与二元函数相似）。
（二）二元函数的极限。
1. 定义 设f为定义在D?R2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数，若对???0，都存在一个??0，使得P?U fo?P0,???D时，都有
?P??A??.
则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记作limf?P??A。有时简记为
P?P0P?DP?P0limf?P??A。
limf当P、P0分别用?x,y?,?x0,y0?表示时，上式也可写作2. 重要定理及推论.
?x,y???x0,y0??x,y??A.
1）limf?P??A的充要条件：对于D的任一子集E，只要P0是E的聚点就有
P?P0P?D3
P?P0P?Elimf?P??A。
2）设E1?D，P0是E1的聚点，若limf?P?不存在，则limf?P?也不存在。
P?P0P?E1P?P0P?D3）设E1、E2?D，P0是它们的聚点。若limf?P??A1，limf?P??A2，但A1?A2，
P?P0P?E1P?P0P?E2则limf?P?不存在。
P?P0P?D4）极限limf?P?存在的充要条件是：对于D中任一满足条件Pn?P0的点列?Pn?，它所
P?P0P?D对应的函数列?f?Pn??都收敛。
3. 二元函数函数极限的四则运算.
若 1)
?x,y???x0,y0?limf?x,y??A，
?x,y???x0,y0?limg?x,y??B。则
?x,y???x0,y0??lim?f?x,y??g?x,y????A?B；2) f?x,y?g?x,y?AB,?B?0?.
?x,y???x0,y0?limf?x,y?g?x,y??A?B;
3)
?x,y???x0,y0?lim?4. 累次极限.
1) 定义：对于函数f?x,y?，若固定y?y0,limf?x,y????y?存在，且lim??y??Ax?x0y?y0也存在，则称A为f?x,y?在P0??x0,y0?处先对x后对y的累次极限，记为
limlimfy?y0x?x0?x,y?，类似可定义xlim?xlimf0y?y0limf?x,y?。
2) 重要定理及推论. ① 若
?x,y???x0,y0??x,y?与xlim?x?x,y?，xlim?x0y?y0limf?x,y?（或ylim?y?x,y?和ylim?y0x?x0limf?x,y?）都存在，则它们
相等； ② 若
?x,y???x0,y0?limf0y?y0limf0x?x0limf ?x,y?都存在，则三者相等；
limf③ 若limlimf?x,y?与limlimf?x,y?都存在但不相等，则
x?x0y?y0y?y0x?x0?x,y???x0,y0??x,y?不
存在。
（三）二元函数的连续性
1. 定义 设f为定义在点集D?R2上的二元函数，P0?D，若对???0，都存在一个
??0，只要P?U?P0,???D，就有
f?P??f?0P???
则称f关于集合D在点P0连续。若f在D上任何点都连续，则称f为D上的连续函数。
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若lim?则称f?x,y?在P0??x0,y0?处关于y连续。同理可定f?x0,y??f?x0,y0????0，y?y?0义关于x连续。
2. 复合函数的连续性定理 设二元函数u???x,y?和v???x,y?在P0??x0,y0?点连续，函数z?f?u,v?在点?u0,v0?处连续，其中??x0,y0?,v0???x0,y0?，则复合函数z?f???x,y?,??x,y??在点P0连续。
3. 有界闭域上连续函数的性质.
1）若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值； 2）若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上一致连续；
3）若函数f在有界闭域D?R2上连续,对任意的P1、P2?D，且f?P1??f?P2?，则对任何满足不等式f?P1????f?P2?的实数?，必存在点P0?D，使得f?P0???。 4. n元函数唯一存在与连续可微性定理。
0000若1）函数F(x1,x2,...,xn,y)在以P(x1,x2,...,xn,y)为内点的n?1维空间区域D内连续；
2）偏导数Fx1,Fx2,...,Fxn,Fy在D内存在且连续；
00003）F(x1,x2,...,xn,y)?0；
''''4）Fy(x1,x2,...,xn,y)?0；
则在P的某一邻域U(P)内，方程F(x1,x2,...,xn,y)?0唯一地确定了一个定义在
Q(x1,x2,...,xn,y)的邻域U(Q)上的n元连续函数y?f(x1,x2,...,xn)使得:
0000'0000①(x1,x2,...,xn,f(x1,x2,...,xn))?U(P),(x1,x2,...,xn)?U(Q);
F(x1,x2,...,xn,f(x1,x2,...,xn))?0,(x1,x2,...,xn)?U(Q),y0?f(x1,...,xn).
00②y?f(x1,x2,...,xn)在U(Q)内连续偏导数：f,f,...,fFx2F'y''x1'x2'xn而且f'x1??Fx1F'y',
fx2??',...,fxn??'FxnFy''.
5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）
若：1）F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以点P0(x0,y0,u0,v0)为内点的区域V?R内连续；
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