2）F(x0,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0（为初始条件）； 3）在V内F,G具有一阶连续偏导数； 4）J??(F,G)?(U,V)在点P0处不等于零。
则在点P0的某一（四维空间）邻域U(P0)?V内，方程组
?F(x,y,u,v)?0唯一地确定了定义在点Q0(x0,y0)的某一（二维空间）邻域U(Q0)内的两?G(x,y,u,v)?0?个二元隐函数u?f(x,y),v?g(x,y), 使得：
①u0?f(x0,y0),v0?g(x0,y0),且当(x,y)?U(Q0)时，
(x,y,f(x,y),g(x,y))?U(P0),
F(x,y,f(x,y),g(x,y))?0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))?0,
②f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内连续；
③f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内有一阶连续偏导数，且 ?u?x?u??1?(F,G)?v1?(F,G),??,J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)??,??,?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
6. （反函数组定理）若函数组??u?u(x,y)?v?v(x,y),满足如下条件：
1）u(x,y),v(x,y)均是有连续的偏导数； 2）
?(u,v)?(x,y)?0.
则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
x?x(u,v),y?y(u,v),且
?(u,v)?(x,y).?1.
?(x,y)?(u,v)
6
(四) 多元微分学的应用
1. 泰勒定理
1) 若f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域U(P0)内存在n?1阶连续的偏导数，则，有?(x0?h,y?k)?U(0P) 0f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?(h???12!1n!(h(h1(n?1)!??x??x?k??y)f(x0,y0)??x??x?k?k???y??y)f(x0,y0)?...2
)f(x0,y0)??y)n?1n(h?xm?kf(x0??h,y0??k)m其中(h?k??y)f(x0,y0)??cp?0pmhm?pkp?f?xm?pm?yp|P0
2) 当x0?0,y0?0时，相应二元函数f(x,y)的麦克劳林公式为
f(x,y)?f(0,0)?(x??1n!(x1(n?1)!??x?y??x??yn??x?y??y)f(0,0)?...)f(0,0)??y)n?1
(x?yf(?x,?y).2．极值
1）定义 设函数z?f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，如果
?(x,y)?U(P0) 满足f(x,y)?f(x0,y0)(f(x,y)?f(x0,y0))，则称f(x0,y0)为f(x,y)的极大值（极小值），此时点P0称为f(x,y)的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。
2）函数f(x,y)在点P0的偏导数存在，则f在点P0取得极值的必要条件为：fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，满足上述条件的点P0称为稳定点或驻点。
''3）极值的充分条件: 设函数f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续的偏导数，且P0是f的稳定点。
记A?fxx(P0),B?fxy(P0),C?fyy(P0)则
7
''''''
① 当B2?AC?0时，函数f在P0取得极值，若A?0，则取得极大值，若A?0，则取得极小值；
② 当B2?AC?0时，函数f在点P0不取极值； ③ 当B2?AC?0时，不能判断f在点P0是否极值；
3．条件极值
1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。
2）拉格朗日乘数法求二元函数z?f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的极值步骤如下： ①作相应的拉格朗日函数
L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y).
②令Lx?Ly?L??0.即
'?fx'(x,y)???x(x,y)?0,?''?fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.'''③求解上述方程组，得稳定点P0?(x0,y0)。
④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。
3) 对于条件极值的一般情形，求函数z?f(x1,x2,...,xn)在约束条件 ??1(x1,x2,...,xn)?0,? ?.......??(x,x,...,x)?0.n?m12（其中f,?1,?2,...,?m均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi）矩阵
???1??x1??...???m????x1.........??1??xm??...?的秩为m)下的极值步骤如下：
???m??xm?? ①作拉格朗日函数
L?f??1?1??2?2?...??m?m.
②分别令Lx?Lx?...?Lx?L??L??...?L??0.得到相应的方程组。
12n12m''''''8
③解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。
(五)多元函数几何应用
1. 平面曲线的切线与法线
平面曲线由方程F(x,y)?0给出，它在点P0?(x0,y0)的切线与法线的方程为： 切线方程：Fx(x0,y0)(x?x0)?Fy(x0,y0)(y?y0)?0， 法线方程：Fy(x0,y0)(x?x0)?Fx(x0,y0)(y?y0)?0。 2. 空间曲线的切线与法平面
1) 空间曲线L由参数方程L:x?x(t),y?y(t),z?z(t),t?[?,?],表出，
'''假定x(t0),y(t0),z(t0)不全为零，则曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的切线方程式为：
''''x?x0x(t0)'?y?y0y(t0)'?z?z0z(t0)';
曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的法平面方程式为：
x(t0)(x?x0)?y(t0)(y?y0)?z(t0)(z?z0)?0.
'''2) 空间曲线L由方程式组L:??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0给出.
当
?(F,G)?(F,G)?(F,G)中至少一个不为零时， ,,?(x,y)?(z,x)?(y,z)曲线L在点P0的切线方程为：
(x?x0)?(F,G)?(y,z)|P0(y?y0)?(F,G)?(z,x)|P0(z?z0)?(F,G)?(x,y)|P0??，
曲线L在点P0的法平面方程为： ?(F,G)?(y,z)|P0(x?x0)??(F,G)?(z,x)|P0(y?y0)??(F,G)?(x,y)|P0(z?z0)?0。
3. 空间曲线的切平面与法线
设曲面由方程F(x,y,z)?0给出，P0?(x0,y0,z0)是曲面上一点，并设函数F(x,y,z)在偏导数在该点连续，且不同时为零，则
9
曲面上点P0处的切平面方程为：
Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0，
'''曲面上点P0处的法线方程为： x?x0F(P0)'x?y?y0F(P0)'y?z?z0F(P0)'z。
四、基本例题解题点击
【例1】设f(x,y) 是区域D:x?1,y?1上有界的k次齐次函数（k?1）。问极限lim[f(x,y)?(x?1)e]是否存在？若存在，试求其值。
x??y??y【提示】f(x,y) 是k次齐次函数是指f(rx,ry)?rkf(x,y)
【解】 令x?rcos?,y?rsin?。同时设f(x,y)?M,(x,y)?D。 则f(x,y)?f(rcos?,rsin?)?rkr?0x??y??kf(cos?,sin?)?rM.
k因limrM?0，故limf(x,y)?limf(rcos?,rsin?)?0.
r?0从而lim[f(x,y)?(x?1)ey]=lim(x?1)ey??1.
x??y??x??y??【例2】证明f(x,y)?xy 在点(0,0)两个偏导数存在，但在点(0,0)不可微。
f(x,0)?f(0,0)x【证明】显然，fx(0,0)?lim'x?0?0，fy(0,0)?lim'f(0,y)?f(0,0)yy?0 ?0。
因此f(x,y)?微，则有
xy在点(0,0)两个偏导数存在且等于零.若f(x,y)?xy在点(0,0)可
f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)x?fy(0,0)y??(x?y).
''22即f(x,y)?xy??(x?y)((x,y)?0)，但如果沿直线y?x趋于零，有
22limxyx?y22x?0y?0?12
10