xy221【证明】 由|f(x,y)?f(0,0)|?|2(x2?y2)2|?y2 34x? ???0,???4?,当
x2?y2??时， |f(x,y)?f(0,0)|?14x2?y2??
故
(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?f(0,0)?0.
从而f(x,y)在点(0,0）处连续。 又f'f(x,0)?f(0,0)x(0,0)?limt?0x?0?0.同理f'y(0,0)?0.
令?w?f(x,y)?f(0,0)?f'0)?x?f'x(0,y(0,0)?y. 考虑 2lim?wx2y2x42，
??0?22?k?0y?kx??limy?kx(x?y)2?limkx?0(1?k2)2x4(1?k2)2即lim?w不存在。
??0?所以f(x,y)在点(0,0）处不可微。 【例5】设f(x,y)在区域D:|x|?1,|y|?1上?上的函数，且 1）对每个(x,y)??的x存在limy?yf(x,y)?g(x)；
02）lim?xf(x,y)?h(y)，关于(x,y)??中的y一致。
x0试证：limlimy?yf(x,y)?limlimf(x,y).
x?x00y?y0x?x0【证明】 由条件(2)，得
???0,??1?0.?x1,x2??,
当0?|x1?x2|??1,0?|y1?y0|??时
|f(x1,y)?f(x2,y)|?? （1）
在上面（1）式两边令y?y0，则
|g(x1)?g(x2)|??
?lim?xg(x)存在，令limg(x)?a.
x0x?x016
■
由条件2），得??2?0.当0?|x?x0|??2时 |h(y)?f(x,y)|??3. （2）
由条件1），得??3?0.当0?|y?y0|??3时 |f(x,y)?g(x)|??3. （3）
由limg(x)?a.，得??4?0.当0?|x?x0|??4时有|g(x)?a|?x?x0?3.
取??min{?1,?2,?3,?4}，当0?|x?x0|??，0?|y?y0|??时
|h(y)?a|??,
?limh(y)?a. 即limlimf(x,y)?a?limlimf(x,y). ■
y?y0x?x0y?y0y?y0x?x0例6】证明微分中值定理
设二元函数z?f(x,y)在凸区域D上两个偏导数fx,fy都存在，则对于D内 任何两点(x0,y0)，(x0??x,y0??y)?U(P0)有
f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0??1?x,y0??2?y)??x?fy(x0??1?x,y0??2?y)??y''''其中0??1?1,0??2?1. 【证明】
f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?[f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)]?[f(x0,y0??y)?f(x0,y0)] （1）
令?(x)?f(x,y0??y)，则由一元函数的中值定理有： ?(x0??x)??(x0)??(x0??1?x)??x （0??1?1），
'即f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)?fx'(x0??1?x,y0??y)??x （0??1?1）， 同理令?(y)?f(x0,y)，可得
f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?fy(x0,y0??2?y)??y （0??2?1）
'代入（1）式即可证明。 ■ 【例7】设二元函数f(x,y)在区域D?{(x,y)|x?y?1}上可微，且对
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?(x,y)?D，有|?f?x|?1,|?f?y|?1,证明：对任意(x1,y1)?D,(x2,y2)?D成立：
|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|x2?x1|?|y2?y1|。
【证明】 应用微分中值定理，有
|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)?f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)|?|f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f'y?x2,?1?||y2?y1|?|f'x??2,y1?||x2?x1|
?|x2?x1|?|y2?y1|其中?1?(x1,x2),?2?(y1,y2)。 ■ 【例8】设z?xx(x?0)求
y?z?z。 ,?x?y【解】 由z?xx(x?0)两边取对数lnz?xylnx (1)
两边对x求导有则
?z?x?z(xy?1y1?zz?xy?1?xy?1?yxxyy?1lnx。
y?1?yxlnx)?x(x?yxy?1lnx)。
同样在（1）式两端对y求导有：
1?zz?y?x(lnx)。
y2则
?z?y?xxyxy?(lnx) ■
2
【例9】证明不等式e?xlnx?x?xy?0,(x?1,y?0). 【证明】令f(x,y)?e?xlnx?x?xy.
则我们只须证明函数f(x,y)在区域D?{(x,y)| x?1,y?0} 上的最小值0即可。
yy令fx?fy?0.得x?e,由此可见函数f(x,y)的最小值只能在曲线x?e上达到，且
yy'' f(e,y)?ye?ye?yyye?ye?y0 .因此，在D上f(x,y)?0，即证。 ■ 【例10】设?ABC的外接圆半径为一定值，且?A,?B,?C所对的边长分别为a,b,c,试证
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明
dacosA?dbcosB?dccosC?0
【证明】 如图1，设?ABC的外接圆半径为R，圆心为O，则由于 ?A??D（同弧上圆周角） 有 sinA?sinD?aBD?a2R
a?2RsinA A
同理 b?2RsinB,c?2RsinC D 因此 da?2RcosAdA
db?2RcosBdB,dc?2RcosCdC O
dacosA?dbcosB?dccosC. C
?2R?dA?dB?dC? B ?2Rd?A?B?C?
图1
?2Rd??0 ■ 【例11】设f(x,y)有一阶连续偏导数，r?x?y22，试证：若lim??xr?????f?x?y?f???1，??y?则f(x,y)有最小值.
?f?x?f?y【证明】由题设，x?a?0,当r?a时，?y 令x?rcos?,，y?rsin?, ?0。
e??cos?,sin??则有
?f?e??f?xcos???f?ysin? y M0 L ?1??f?f???x?y??0 O ? x r??x?y??
如图2，设M0是圆r?a上的点，L是过O，M0的射线， 则当M?L，且OM?OM0时，有f?M??f?M0?. 图2
222因此，当r?a，f(x,y)在x?y?a上取得最小值.又f(x,y)在有界闭区域
x?y22?a上有最小，则该最小值也是f(x,y)在全平面上的最小值. ■
2
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六、训练题提示点评
?0?【训练题1】考虑二元函数f(x,y)??xy?sin(x2?y2)?x?y?0x?y?02222，问此函数在(0,0)处是否
连续？
【提示及点评】考虑点(x,y)延y?kx趋于零时f(x,y)的极限。 ■ ?0?【训练题2】考虑二元函数f(x,y)??1xysin22?x?y?x?y?0x?y?02222在(0,0)处的可微性.
【提示及点评】先计算得fx(0,0)?fy(0,0)?0.再计算 f(0??x,0??y)?f(0,0)?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?x??y22?f(0??x,0??y)?x??y22?0
因此，f(x,y)在(0,0)处可微. ■
?u?x?v?y?u?y?v?x【训练题3】若u,v是x,y的函数，x?rcos?,y?rsin?。试由
?u?r1?vr???v?r?u?r?v???,??证
明等式：
?,??1?ur??。 ?u?y?y?r?u?x?x?r?v?y?x?r【提示及点评】 利用??u?x?x?r???;
??v?x?x????v?y?y????v?x?x???x?0x?0?u?y. ■ x????y?【训练题4】证明：二元函数f(x,y)??sinxy??x在平面上处处连续但不一致连续。
【提示及点评】连续性主要考虑x?0时。取?0?limn??12及特殊点列?xn,yn?,?un,vn?使得
?xn,yn???un,vn??0及f?xn,yn??f?un,vn??1??0. ■
222【训练题5】函数z?z(x,y)由方程x?y?z?yf??z?x?z??给出，其中f可微，求证： y?? ?x?y?z222??2xy?z?y?2xz。
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