9.1 椭 圆
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程
45
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和
325
，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 3
x23y23x2y2
【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1.
510105
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：
x2y2
据此，可推断椭圆C1的方程为 . ＋＝1.
126题型二 椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 1
【解析】(1)e的取值范围是[，1).(2)SPF2
【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；|PF1|＋|PF2|2
求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()，|PF1|≥a－
2x2y21
c. 【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆
2594
1
(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.
4题型三 有关椭圆的综合问题
x2y2
【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为
ab
1
1F213＝mnsin 60°＝b2， 23
1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
2x2y2
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.(1).(2)为＋＝1.
2189
x2y2
【变式训练3】已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2
ab|PF1|
为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是( )
|PF2|
A.3 2
B.3 3
C.2 2
D.
6
【解析】选B 3
题型思 有关椭圆与直线综合问题
x2y21【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)
2ab的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平
分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．
.
【变式训练4】【2012高考广东理20】
x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆C上的点到Q
ab3（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
2
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
练习
x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:点A?l，线段AF交C于点B，2?????????????若FA?3FB,则|AF|=( )
A. 2 B. 2 C.3 D. 3选A
x2y2.2（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?xab????????轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）
A．1132 B． C． D．【答案】D
3222x2y23.（2009江西卷理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
ab?若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为
A．
1123 B． C． D．【答案】B
3223x2y23a4.【2012高考新课标理4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一
2ab点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
? 3
(A)
12? (B) (C) 23?(D)?【答案】C ?x2y2??1的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，当?FAB5【2012高考四川理15】椭圆43的周长最大时，?FAB的面积是____________。【答案】3 x2y26【2012高考江西理13】椭圆 2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，
abF2。若AF1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】1，F5 5
x2y2【例4】【解析】(Ⅰ)：+?1．
43(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝
11x，设A(x，y)，B(x，y)，R(x，y)．其中y＝x．22A
A
B
B
0
0
0
0
?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4?kAB?yA?yB3x?xB32x3???A???0??xA?xB4yA?yB42y02．
设直线AB的方程为l：y＝﹣
3x?m2(m≠0)，入椭圆：
?x2y2+?1??43??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．显然
??(3m)?24?m3(?23?)m3?(1．∴﹣2?12)＜m＜22m2?3012且m≠0．由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．
3＝∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kABd?(xA?xB)?4xAxB?m?21?kAB．
1?kABm24?3．
?3?1?m1?kAB∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：
m2114?∴S?＝d|AB|＝|m＋2|322ABP
，当|m＋2|＝m24?3，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S
?ABP)max＝
1． 2此时直线l的方程y＝﹣
31x?22．
【变式训练4】【解析】（1）设
c?a2?b2 由e?c221??c2?a2，所以b2?a2?c2?a2
3a33x2y2y222?2?1，所以x?a(1?2)?a2?3y2 设P(x,y)是椭圆C上任意一点，则
2abb|PQ|?x2?(y?2)2?a2?3y2?(y?2)2??2(y?1)2?a2?6 4
当
b?1时，当y??1时，|PQ|有最大值a2?6?3，可得a?3，所以b?1,c?2 b?1时，PQ?a2?6?3b2?6?3 不合题意
当
x2?y2?1 故椭圆C的方程为：
3 （2）
?AOB中，OA?OB?1，S?AOB?11?OA?OB?sin?AOB? 22 当且仅当
?AOB?90?时，S?AOB有最大值
12，
?AOB?90?时，点O到直线AB的距离为d?22
d?212???m2?n2?2 22m2?n2 又
3162m2?3n2?3?m2?,n2?，此时点M(?,?)2222。
9.2 双曲线
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨x2y2
迹方程.【解析】－＝1(x≥2).
214
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，
5