要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
x2y2
【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和
916(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9 【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
x2y2
【例2】双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，
ab使AP?PQ＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，
6). 2
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
x2y2
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且
ab斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2－e2＞1 C.e2－k2＞1
B.k2－e2＜1
D.e2－k2＜1【解析】，故选C.
题型三 有关双曲线的综合问题
x22
【例3】(2010广东)已知双曲线－y＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双
2曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
x22
【解析】(1)轨迹E的方程为2＋y＝1，x≠0且x≠±2.(2)符合条件的h的值为3或2.
x2y2
【变式训练3】双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双
ab曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于( )
A.1＋22
B.3＋22 C.4－22 D.5－22 【解析】故选D
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当 ||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
6
bx2y2
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±x，可将双曲线方程设为2－2＝λ(λ≠0)，
aab再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
练习
x2y231、【2012高考山东理10】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心学率为.双曲线x2?y2?1的渐
ab2近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2?1 ??1 （B）??1 （C）??1 （D）?（A）
20582126164【答案】D
2．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 A．(－C．(－
1515，) 33
B．(0，15
) 3
1515，0) D．(－，－1) 33
x2y23.【2012高考湖北理14】如图，双曲线2?2?1 (a,b?0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，
ab两焦点为F1，F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D. 则 （Ⅰ）双曲线的离心率e? ；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1? .【答案】e?S2【例3】由题意知|x1|＞
5?1S12?5;?2S22
－y1y1
(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝(x－2).②方
x1＋2x1－2
2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝
22y122y
法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③则x≠0，|x|＜2. x1x1xx
x2x21而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y21＝1. 22
x2
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±2. 2－y21
方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝2(x2－2).③
x1－2x2x2112
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y2＝1，即y＝－1. 11
22x2
代入③式整理得＋y2＝1.
2
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x＋2y－2＝0.
?x?2y?2?0,?解方程组?2得x＝
x2??y?1?2
2，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).
7
x2
综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±2. 2(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)， x2
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
2令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0， 解得k1＝
h2－1
，k2＝－2
h2－1h2－1
.由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝3. 22
hh
×(－)＝－1，得h＝2. 22
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2， 它们与轨迹E分别仅有一个交点(－
222222，)与(，). 3333
所以，符合条件的h的值为3或2.
【变式训练3】据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝
由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a
2x.
?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.
c2
又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，两边平方整理得c2＝a2(5－22)?2＝e2＝5－22，.
a
9.3 抛物线
典例精析
题型一 抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 【解析】(1)y2＝8x或x2＝－y.(2)方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值. 【解析】dmin＝2a－1. 题型二 直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA?FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)y2＝4x(x＞0). (2)3－22＜m＜3＋22.
8
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0，且m的取值范围是(3－22，3＋22).
【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐111
标为(0,2)，则＋＝ .【解析】.
y1y22
题型三 有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使NA·NB＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由. 【解析】
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线
的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须使用弦长公式.
【变式训练3】已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别45
为M、N，则|MN|的最小值是 .【解析】.
5
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、2p
B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2(α为AB的倾斜角)，y1y2＝
sinαp2
－p，x1x2＝等.
4
2
练习
1.【2012高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=
9
(A)
1334 （B） (C) (D) 【答案】C
54452.【2012高考安徽理9】过抛物线y2?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3，则?AOB的面积为（ ）
(A)
222
【例3】证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x2)，把y＝kx＋2代入y＝2x，得2x－kx－2＝0，
2 (B) 22 (C)
32 (D)22【答案】C 2x1＋x2kkkk2
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，所以xN＝xM＝＝，所以点N的坐标为(，). 22448
k2kmkk2
设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m(x－)，将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0，
8448mkk2
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，所以m＝k，即l∥AB.
48(2)假设存在实数k，使NA·
NB＝0，则NA⊥NB， 又因为M是AB的中点，所以|MN|＝
1|AB|. 22
1111k2k2k2k2k＋16
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2.因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 222224488
又|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·
k1
()2－4×(－1)＝k2＋1·k2＋16. 22
k2＋1612所以＝k＋1·k2＋16，解得k＝±2.即存在k＝±2，使NA·
84
NB＝0.
9.4 直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值. 4【解析】综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－.
5
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数
a?1＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a2
a＝0时，曲线y＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1 恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；4
③当a＝－时直线与抛物线相切.
5
【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为( ) A.{1，－1，
55
，－} 22
B.(－∞，－
55
]∪[，＋∞) 22
5
，＋∞) 2
10
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 【解析】答案为A.
D.(－∞，－1)∪[