题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题
x2y2
【例2】(2010辽宁)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B
ab两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.
(1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝
15
，求椭圆C的方程. 4
c2x2y2
【解析】(1)e＝＝.(2)＋＝1.
a395
【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
3aay03
，则的值为 .【解析】＝＝. 2bbx02
题型三 对称问题
【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围. 【解析】故k的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于x＋y＝0对称的两点A，B，则|AB|等于( ) A.3
B.4
C.32
D.42
【解析】设AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0， 11
所以xA＋xB＝－1，故AB中点为(－，－＋b).
22
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故选C.
总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法. 2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组
?Ax?By?C?0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0??f(x,y)?0,和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.
3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交
9.5 圆锥曲线综合问题
11
典例精析
题型一 求轨迹方程
【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.
(1)求证：l1⊥l2； (2)求点M的轨迹方程. 【解析】(1)所以l1⊥l2. 1
(2)M的轨迹方程是y＝－. 2
【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.
【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
x2y2
A.－＝1 916
x2y2
B.－＝1 169
x2y2
D.－＝1(x＞4) 169
x2y2
C.－＝1(x＞3) 916
x2y2
【解析】，方程为－＝1(x＞3)，故选C.
916题型二 圆锥曲线的有关最值
【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.
【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.
所在直线
?x2?3y2?4,由?得4x2－6nx＋3n2－4＝0. ?y??x?n4343
因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜.
333n2－43n
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
24n
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝. 2
因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|. 所以菱形ABCD的面积S＝
2
2
2
3
|AC|2. 2
－3n2＋1634343又|AC|＝(x1－x2)＋(y1－y2)＝，所以S＝(－3n2＋16) (－＜n＜). 2433所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.
12
【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.
【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是 .
2
【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，xP－1)，Q(xQ，x2Q－1)， 22
x2P－1xQ－xP
由kBP·kPQ＝－1，得·＝－1.
xP＋1xQ－xP
11
所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.
xP－1xP－1因为|xP－1＋
1
|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3. xP－1
题型三 求参数的取值范围及最值的综合题
m2x2
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：2＋y2
2m＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
【解析】(1)故直线l的方程为x－2y－1＝0. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?m2x?my?,?m2?22由?2消去x得2y＋my＋－1＝0，
4
?x?y2?1??m2m2
则由Δ＝m－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
4
2
mm21
且有y1＋y2＝－，y1y2＝－.
282
由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，
x1y1x2y2由AG＝2GO， BH＝2HO，得G(，)，H(，)，
3333(x1－x2)2(y1－y2)2
|GH|＝＋. 99
2
x1＋x2y1＋y2
设M是GH的中点，则M(，)，
66
x1＋x22y1＋y22(x1－x2)2(y1－y2)2
由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[()＋()]＜＋，
6699即x1x2＋y1y2＜0.
m2m2m212
而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m＋1)(－). 2282
13
m21
所以－＜0，即m2＜4.
82
又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2. 所以m的取值范围是(1,2).
【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为 .
【解析】即a的取值范围为(3，＋∞).
总结提高
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标
某种条件的法”将其转
化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.
2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.
3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识
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