2019年高考数学一轮复习（文科）训练题：周周测 11 含解析(2)

程为________． 答案：6x－y－6＝0 解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，?b)，则反射光线所在直线过点M′，所以?－3＋ab＋4?2－2＋3＝0，b－4＝－1，a－?－3? 解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－0x－1＝，即6x－y－6＝0. 6－02－115．(2018·福建福州文博中学月考)直线3x＋y－23＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧对应的圆心角的大小为________． π答案：3 |－23|解析：圆心到直线的距离为d＝2＝3，∴弦长为2×4－3＝2，∴弦与两个半径构成的三角形为正三角形，∴直线3x＋y－23π22＝0截圆x＋y＝4得劣弧对应的圆心角的大小为3. 16．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，→→≤20，则点P的横坐标的取值点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA·PB范围是________． 答案：[－52，1] 解析：方法1：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上， 所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)． 因为A(－12,0)，B(0,6)， →→→所以PA＝(－12－x，－50－x2)或PA＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x,6＋50－x2)． ＝(－x,6－50－x2)或PB→→≤20，先取P(x，50－x2)进行计算， 因为PA·PB所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2. 5当2x＋5≤0，即x≤－2时，上式恒成立； 5当2x＋5≥0，即x≥－2时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1. 同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5. 又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1. 故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]． →→＝(－x,6－y)． 方法2：设P(x，y)，则PA＝(－12－x，－y)，PB→→≤20，∴ (－12－x)·∵ PA·PB(－x)＋(－y)·(6－y)≤20， 即2x－y＋5≤0. 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点， ∵ P在圆O上且满足2x－y＋5≤0， ∴ 点P在EDF上． 22??x＋y＝50，由?得F点的横坐标为1. ?2x－y＋5＝0? 又D点的横坐标为－52， ∴ P点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程． 解：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点10???分别是0，3?，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝??kx＋1，又设该直线与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有 ??yA＝kxA＋1，①? ??xA－3yA＋10＝0， ??yB＝kxB＋1，②? ??2xB＋yB－8＝0. 7由①解得xA＝， 3k－17由②解得xB＝. k＋2因为点M平分线段AB， 所以xA＋xB＝2xM， 771即＋＝0，解得k＝－4. 3k－1k＋21故所求的直线方程为y＝－4x＋1， 即x＋4y－4＝0. 18．(本小题满分12分) 已知圆M经过A(1，－2)，B(－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2. (1)求圆M的方程； 1??(2)若P?2，2?为圆内一点，求经过点P被圆M截得的弦长最短时??的直线l的方程． 解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，则圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D； 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，则圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E. 由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2. 又∵A(1，－2)，B(－1,0)在圆上， 1＋4＋D－2E＋F＝0，??∴?1－D＋F＝0，??D＋E＝－2，故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－3＝0. (2)由(1)知，圆M的方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1,0)． 1???当直线l过定点P2，2?且与过此点的圆的半径垂直时，l被圆截??10－21得的弦长最短，此时kPM＝＝， 1－2211∴kl＝－k＝－2，于是直线l的方程为y－2＝－2(x－2)，即4xPM＋2y－9＝0. 19．(本小题满分12分) (2018·黑龙江鸡西虎林一中第一次月考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点． (1)当l经过圆心C时，求直线l的方程； D＝－2，??解得?E＝0，??F＝－3. (2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； (3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长． 解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 1(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－2(x－2)，即x＋2y－6＝0. (3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 1圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，所以弦AB的长为34. 220．(本小题满分12分) 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过P点且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 解析：(1)∵⊙C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16， ∴圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4. 设l：y＝kx＋5，由直线l被⊙C截得的弦长为43及⊙C的半径|－2k－6＋5|3r＝4知⊙C的圆心到直线l的距离d＝2，∴＝2，∴k＝4；21＋k当k不存在时，直线l为x＝0，满足题意． 3∴l的方程为y＝4x＋5或x＝0. (2)设弦的中点为M(x，y)，将y＝kx＋5代入⊙C的方程中，得(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0. 2k－4设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 1＋k22k2－4k12k2－4k＋10∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋10＝＋10＝. 1＋k21＋k2∵M为AB的中点， x1＋x2k－2y1＋y26k2－2k＋5∴x＝2＝，y＝2＝， 1＋k21＋k2消去k，得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 当k不存在时，过点P的弦所在的直线为x＝0，代入⊙C的方程，得y2－12y＋24＝0，此时点M的坐标为(0,6)．点M(0,6)满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0，∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 21．(本小题满分12分) 已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求两圆公共弦长； (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程． 解析：(1)两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程． |1＋10＋4|又圆C1的圆心C1(1，－5)到公共弦的距离d＝＝35， 5圆C1的半径r1＝50＝52， L2由d2＋(2)2＝r2得L＝2r2即公共弦1(L为公共弦长)，1－d＝25，长为25. (2)直线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0， 直线C1C2与相交弦所在直线x－2y＋4＝0的交点为(－2,1)，即为所求圆的圆心． L又因为所求圆的半径为2＝5， 所以以相交弦为直径的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 22．(本小题满分12分) (2018·江苏宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9,0)，且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21. (1)求圆O1的标准方程； (2)过定点P(a，b)作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值． 解析：(1)∵圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离是21，∴圆O1的半径为4.∵圆心为O1(9,0)，∴圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16. (2)当直线l的斜率存在时，设方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y－ka＋b＝0. |ka－b||－9k＋ka－b|∴O，O1到直线l的距离分别为h＝， 2，h1＝21＋k1＋k?|ka－b|2??2∴d＝264－?2?1＋k?， ??d1＝2?|－9k＋ka－b|??216－?2??. 1＋k??∵d与d1的比值总等于同一常数λ， ?|ka－b|2???|－9k＋ka－b|????2??2?2?∴64－?， 2?＝λ?16－?2??1＋k?1＋k?????∴[64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2]k2＋2b[a－λ2(a－9)k＋64－b2－λ2(16－b2)＝0. 由题意，上式对任意实数k恒成立，∴64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0,2b[a－λ2(a－9)]＝0,64－b2－λ2(16－b2)＝0同时成立． ①如果b＝0，则64－16λ2＝0， ∴λ＝2(舍去负值)，从而a＝6或18； ∴λ＝2，P(6,0)，P(18,0)． a②如果a－λ2(a－9)＝0，显然a＝9不满足，则λ2＝，代入a－964－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0，从而得3a2－43a＋192＝0，Δ＝432－4×3×192＝－455＜0，故方程无解，舍去． 当点P的坐标为(6,0)时，若直线l的斜率不存在，此时d＝47，dd1＝27，∴d＝2也满足．当点P的坐标为(18,0)，若直线l的斜率1不存在，此时直线l与两圆都相等，故不满足． 综上，满足题意的λ＝2，点P有两个，坐标分别为(6,0)，(18,0)．