统计量的分析和计算
典型例题：
例1. （2012年全国课标卷文5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,?,xn1
不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,?,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数
2据的样本相关系数为【 】
1
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
2【答案】D。
【考点】样本相关系数。
1
【解析】根据样本相关系数的概念，因为所有样本点（xi，yi）(i=1,2,?,n)都在直线y=x+1上，
2即两变量为完全线性相关，且完全正相关，因此这组样本数据的样本相关系数为1。故选D。 例2.（2012年安徽省理5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则【 】
(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C。
【考点】平均数，中位数，方差，极差。 【解析】∵x甲?11(4?5?6?7?8)?6, x乙?(5?3?6?9)?6， 55 ∴甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数。
∵甲的成绩的中位数=6，乙的成绩的中位数=5，∴甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数。
∵甲的成绩的方差为(2?2?1?2)?2，乙的成绩的方差为(1?3?3?1)?2.4，
1
15221522 ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。
∵甲的成绩的极差=8－4=4，乙的成绩的极差=9－5=4， ∴甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差。
因此，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。故选C。
例3. （2012年山东省文5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，
88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的 是【 】
A 众数 B 平均数 C 中位数 D 标准差 【答案】D。
【考点】统计量的特征。
【解析】设A样本数据为变量X，B样本数据为变量Y，则依题意，Y=X＋2。根据方差公式可得
DY=D（X+2）=DX。
∴A样本数据和B样本数据的方差相同，从而标准差也相同。故选D。
例4. （2012年江西省理5分）样本（x1,x2,?,xn）的平均数为x，样本（y1,y2,?ym）的平均数为y(x?y)，若样本（x1,x2,?,xn，y1,y2,?ym）的平均数z??x?(1??)y，其中0???则n,m的大小关系为【 】
A．n?m B．n?m C．n?m D．不能确定 【答案】A。
【考点】作差法比较大小以及整体思想，统计中的平均数。
【解析】由统计学知识，可得x1?x2???xn?nx, y1?y2???ym?my,
1，2?x1?x2???xn?y1?y2???ym??m?n?z??m?n????x??1???y?
??m?n??x??m?n??1???y，
??n??m?n??∴nx?my??m?n??x??m?n??1???y。∴?。
??m??m?n??1???∴n?m?(m?n)[??(1??)]?(m?n)(2??1)。 ∵0???1，∴2??1?0。∴n?m?0，即n?m。故选A。 2 2
例5. （2012年江西省文5分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为【 】
A.30％ B.10％ C.3％ D.不能确定 【答案】C。
【考点】分布的意义。
【解析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比：
根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为∵一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，
∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%=3%。故选C。
例6. （2012年湖北省文5分） 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20）
频数
2
[20，30）
3
[30，40）
4
[40，50）
5
[50，60）
4
[60，70）
2
30 ?10%。
30?40?100?80?50则样本数据落在区间[10,40]的频率为【 】
A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 【答案】B。
【考点】频数、频率和总量的关系。
【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，
样本总数为2?3?4?5?4?2?20， ∴样本数据落在区间[10,40)内频率为
9?0.45。故选B。 20例7. （2012年湖南省理5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据?xi, yi??i?1, 2， ???, n?，用最小二乘法建立的回归方程为
3
?y?0.85x?85.71，则下列结论中不正确的是【 】
A. y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心x, y
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D。
【考点】两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念。 【解析】对于A，∵0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故正确； ????bx?a?bx?y?bx(a?y?bx)，对于B，∵由最小二乘法建立的回归方程得过程知y∴回归直线过样本点的中心x, y，故正确； 对于C，∵回归方程为?y?0.85x?85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确； 对于D，x=170cm时，?y?0.85?170?85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确。 故选D。 例8. （2012年陕西省理5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为
??m甲，m乙，则【 】
A. x甲?x乙，m甲?m乙 B. x甲?x乙，m甲?m乙 C. x甲?x乙，m甲?m乙 D. x甲?x乙，m甲?m乙 【答案】B。
【考点】茎叶图，平均数，中位数。
【解析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项：
4
甲的平均数
，
x甲?5?6?1的
8?6平
1??均
0数
? 乙
x乙=1?0?11?62??，
1?8 ∴x甲?x乙。 甲的中位数为
故选B。
例9. （2012年陕西省文5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是【 】
18?2227?31?20，乙的中位数为?29，∴m甲?m乙。 22
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【答案】A。
【考点】茎叶图，中位数，众数，极差。 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即选A。
例10. （2012年山东省文4分）下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频
率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，
[22.5,23.5)，
[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中
45+47=46，众数是45，极差为68－12=56。故2平均气
温不低于25.5℃的城市个数为 ▲
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