习题2-1
1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：
n ; n?1n1(3) xn?3?(?1)； n1解：(1) 此数列为x1?,x2?2(1) xn?
(2) xn?2?(?1)n；
(4) xn?1?1. n2234n,x3?,x4?,?,xn?,? 所以limxn?1。
n??345n?1(2) x1?3,x2?1,x3?3,x4?1,?,xn?2?(?1)n,? 所以原数列极限不存在。 (3) x1?3?1,x2?3?所以limxn?3。
n??1111,x3?3?,x4?3?,?,xn?3?(?1)n,? 234n(4) x1?1?1,x2?1111?1,x3??1,x4??1,?,xn?2?1,? 所以limxn??1
n??4916n2.下列说法是否正确：
(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；
(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
n(2) 错误 例如数列(-1)有界，但它不收敛。
??(3) 正确。
(4) 错误 例如数列?xn?1?(?1)*
??n2??极限为1，极限大于零，但是x1??1小于零。 n?3.用数列极限的精确定义证明下列极限：
n?(?1)n?1?1; (1) limn??nn2?2?1； (2) lim2n??n?n?1(3) lim5?2n2??
n??1?3n3n?(?1)n?111?1???，只要n?即可，所以可证：(1) 对于任给的正数ε，要使xn?1?nn?取正整数N?1?.
n?(?1)n?1?1??1??，所以 因此，???0，?N???，当n?N时，总有
n???n?(?1)n?1 lim?1.
n??n(2) 对于任给的正数ε，当n?3时，
n2?2?n?3n?32n22要使xn?1?2?1?2?2?2???，只要n?即可，所
n?n?1n?n?1n?n?1n?nn??2?以可取正整数N?max?,3?.
???n2?2?2??1??，所以 因此，???0，?N?max?,3?，当n?N时，总有2n?n?1???
n2?2lim2?1. n??n?n?125?2n21762(3) 对于任给的正数ε，要使xn?(?)??(?)?????，
31?3n33(3n?1)3n?1n?131221只要n??即可，所以可取正整数N??.
?33?5?2n2?21??(?)??，所以 因此，???0，?N????，当n?N时，总有
1?3n3??3?
5?2n2??.
n??1?3n3习题2-2 lim1 ;
x??x2?x1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) lim
(2) lime；
x?-?x(3) limex?+?；
(4) limarccotx;
x?+?(5) lim2 ;
x??
(6) lim(x?1)；
x?-22(7) lim(lnx?1)；
x?1 (8) lim(cosx?1)
x??解：(1) lim1?0 ;
x??x2?x
(2) lime?0；
x?-?x(3) limex?+??0；
(4) limarccotx?0;
x?+?(5) lim2?2 ;
x??
(6) lim(x?1)?5；
x?-22(7) lim(lnx?1)?1；
x?1 (8) lim(cosx?1)??2
x??2. 函数f?x?在点x0处有定义，是当x?x0时f?x?有极限的( D )
(A) 必要条件 (C) 充要条件 (B) 充分条件 (D) 无关条件
解：由函数极限的定义可知，研究f?x?当x?x0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时f?x?的变化趋势，而不关心f?x?在x?x0处有无定义，大小如何。
3. f?x0?0?与f?x0?0?都存在是函数f?x?在点x0处有极限的( A ) (A) 必要条件 (C) 充要条件
(B) 充分条件 (D) 无关条件
解：若函数f?x?在点x0处有极限则f?x0?0?与f?x0?0?一定都存在。
?x2?1;x?0,4． 设f?x??? 作出f?x?的图像；求lim判别limf?x?f?x?与limf?x?；
x?0x?0?x?0?x;x?0,?是否存在?
解：limf?x??limx?0，limf?x??lim(x2?1)?1，故limf?x?不存在。 ????x?0x?0x?0x?0x?05．设f?x??x?0xx,??x??,当x?0时，分别求f?x?与??x?的左、右极限，问limf?x?x?0xx与lim??x?是否存在?
?1;x?0,解：由题意可知f?x???，则limf?x??lim1?1，limf?x??lim1?1，因此
x?0?x?0?x?0?x?0?1;x?0,?limf?x??1。
x?0??1;x?0,由题意可知??x???，lim??x??lim1?1，lim??x??lim(?1)??1，因此
x?0?x?0?x?0?x?0?1;x?0,?lim??x?不存在。
x?0
*
6.用极限的精确定义证明下列极限：
(1) lim1?x??1;
x??x?1
x2?1?-2； (2) limx?-1x+1(3) limxsinx?01?0. x1?x222?1????，只要x??1即可. 1?x1?x1?x?证：(1) ???0，要使f?x??(?1)?所以，?X?2??1,当x?X时，都有f?x??(?1)??，故lim1?x??1.
x??x?1x2?1x2?2x?1(2) 对于任给的正数ε，要使f?x??A??2??x?1??,只要
x?1x?1x2?1?(?2)??成立.x?1??. 所以???0， ????, 当0?x?1??时，都有不等式
x?1x2?1?-2. 故limx?-1x+1(3) 对于任给的正数ε，要使f?x??1A?xsin?0?x??,只要x??.所以
x1xx?0???0， ????, 当0?x??时，都有不等式xsin?0??成立.故limxsin?0.
习题2-3
1．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大? (1)
1xx?2x?1; (2)lnx; (3)2． x?1xx?2x?2为无穷小， ?0，故x??2时
x??2x?1x?1解：(1) 因为lim因为limx?2x?2为无穷大。 ??，故x?1时
x?1x?1x?1x?1(2) 因为limlnx?0，故x?1时lnx为无穷小，
?x?0因为lim，，故和x???时lnx都为无穷大。 lnx???limlnx????x?0x???(3) 因为lim因为limx?1x?111x?1x??1，，故和时为无穷小， x???0lim?lim(?)?0x??1x2x??x2x??xx2x2x?1x?1??，故x?0时2为无穷大。 2x?0xx2．求下列函数的极限：
1arctanxcosn2(1) limxsin; (2)lim; (3)lim.
x?0x??n??xxn2解：(1) 因为?x????,0??(0,??)，sin11?1，且limx2?0，故得limx2sin?0.
x?0x?0xx(2) 因为?x????,0??(0,??)，arctanx?2?2im，且l1arctanx?0，故得lim?0.
x??x??xx1cosn2(3) 因为cosn?1，且lim?0，故得lim?0.
n??n??nn习题2-4
1. 下列运算正确吗?为什么?
1?11?(1) lim?xcos??limx?limcos?0?limcos?0;
x?0x?0x?x?0x?0xx?limx2x2?x?1??. (2)limx?11?xlim?1?x?x?11解：(1) 不正确，因为limcos不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。
x?0x正确做法是：因为cos11?1，且limx?0，故得limxcos?0.
x?0x?0xx(2) 不正确，因为lim?1?x??0，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
x?11?xx2正确做法是：因为lim2?0，由无穷小与无穷大的关系可知lim??.
x?1xx?11?x2. 求下列极限：
(1)
?3x?1??2x?3?lim50x???7x?1??x?h?320302n?1?3n?1； （2） limn；
n??2?3n2??1?2(4) lim??; x?1x?1x?1??（3）limh?0?x3h;
x2?x?arccotx??x3x2??(5) lim?2; ?; （6）lim3x??x??2x?1x?x?52x?1??1111?????n393; (8)lim?1?2?3???n?n?; (7) lim??n??n??111n?22??1?????n242?x2?1?(9) limln??. x?12(x?1)??解：(1)
?3x?1??2x?3?lim50x???7x?1?20301??3???3???2??320230x??x???lim?50； 50x??71??7???x??20302n?1?3n?1（2） limnn??2?3n2n?12?32()n?3n?lim3n?lim3?3； n??2n??2n()?1?133n3x2h?3xh2?lim?lim(3x2?3xh)?3x2; h?0h?0h（3）limh?0?x?h?h3?x3