x2?1x?1?lim??2，所以x?1为函数的可去间断点，补充定义因为lim2x?1x?3x?2x?1x?2f(1)??2，原函数就成为连续函数，
x2?1??，所以x?2为函数的无穷间断点。 因为lim2x?2x?3x?2??2tanx在x?0，x?k??(k?Z)无定义，因此x?0和x?k??(k?Z)x22都为函数的间断点，
(5) y?因为lim2tanx?2，所以x?0为函数的可去间断点，补充定义f(0)?2，原函数就
x?0x成为连续函数，
因为limx?k???2?2tanx??，所以x?k??(k?Z)为函数的无穷间断点。
2xsinxsinx?1，lim???1，所以x?0为函数的跳跃间断点。
x?0x?x(6) 因为lim?x?03. 在下列函数中，当a取什么值时函数f?x?在其定义域内连续? ?x2?9?ex,x?0,,x?3,?(1) f?x???x?3 (2) f?x???
x?a,x?0.??a,x?3;?解：(1) f(x)在x?3是连续函数，因此f(x)只要在x?3时连续，就在其定义域内连
x2?9(x?3)(x?3)?lim?6，f(3)?a，所以只要a?6，f(x)就在其定续。因为limx?3x?3x?3x?3义域内连续。
(2) f(x)在区间(??,0)?(0,??)是连续函数，因此f(x)只要在x?0时连续，就在
xf(x)?lim(x?a)??alimf(x)?lime?1f(0)??a，其定义域内连续。因为lim，????x?0x?0x?0x?0所以只要a??1，f(x)就在其定义域内连续。
4. 求下列函数的极限： (1)limx??ln?x?a??lnx??;
x??(2)lim2x2?3x?4x?1tanx4x??; 1?x?x2?1(3)lim; x?0sin2x (4) limx?01?1?tanx;
(5) limcosarccotx;
x??? (6) limx?0ln?1?x??ln?1?x?x.
解：(1)limx??ln?x?a??lnx???limxlnx??x??2x?aaa?limxln(1?)?limx?a; x??xxx??x112?3?422x?3x?4xx?2; ?lim(2)limx??x??1x4?11?4xx?x21?x?x2?11?x1?lim2?lim?; (3)limx?0x?0x?0sin2x2x44
(4) limx?0tanx1?1?tanx?limtanx??2;
x?0tanx?2x???(5) limcosarccotx?coslimarccotx?cos0?1;
x???
?2.
(6) limx?0ln?1?x??ln?1?x?xx2?limx?0ln?1?x?x?limx?0ln?1?x?x5. 证明方程2?x在(?1,1)内必有实根.
证明：设f?x??2x?x2. 因为函数f?x?在闭区间??1,1?上连续，又有
1f??1???,f?1??1, 故f??1??f?1??0.
2根据零点存在定理知，至少存在一点????1,1?，使f????0, 即
2???2?0．
因此，方程2x?x2在??1,1?内至少有一个实根ξ.
6. 证明方程x?asinx?b至少有一个正根，并且它不大于a?b (其中a?0,b?0). 证明：设f?x??x?asinx?b. 因为函数f?x?在闭区间?0,a?b?上连续，又有 f?0???b?0,f?a?b??a?asin(a?b)?a[1?sin(a?b)]?0, 故f?0??f?a?b??0.
根据零点存在定理知，至少存在一点???0,a?b?，使f????0, 即
??asin??b?0．
因此，方程x?asinx?b在?0,a?b?内至少有一个实根，即方程x?asinx?b至少有一个正根，并且它不大于a?b (其中a?0,b?0)。
复习题2
（A）
1. 单项选择题：
(1) 设xn?n?n1???1??,则
?2? ( B )
(A) ?xn?有界 (B) ?xn?无界
(C) ?xn?单调增加 (D) n??时， xn为无穷大
解：x2k?1?0,x2k?2k，k?1,2,3,?，因此?xn?无界，但是?xn?的极限不存在，也不是单调数列，故只有B选项正确。
(2) 若f?x?在点x0处的极限存在，则 (A) f?x0?必存在且等于极限值
(B) f?x0?存在但不一定等于极限值
(D) 如果f?x0?存在，则必等于极限值
( C )
(C) f?x0?在x0处的函数值可以不存在
解：由函数极限的定义可知，研究f?x?当x?x0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时f?x?的变化趋势，而不关心f?x?在x?x0处有无定义，大小如何。
2. 指出下列运算中的错误，并给出正确解法： x2?1?0?x2?1lim?x?1??1; (1)limx?1x?1lim?x?1?0x?1x2?1?3?x2?1lim?x?2???; (2)limx?2x?2lim?x?2?0x?24?14?1?2?lim?lim2?????0; (3)lim??x?2x?2x?2x?2x?2x?4x?4??(4)lim3x?0??1?x?1lim?1?x?1limx?0x?03??0?1.
1?x?1?01?x?1解：(1) 因为lim?x?1??0，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
x?1x2?1正确做法是：因为lim?lim(x?1)?2.
x?1x?1x?1(2) 因为lim?x?2??0，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
x?1x?2x2?1正确做法是：因为lim2?0，由无穷小与无穷大之间的关系可知lim??.
x?1x?1x?2x?214(3) 因为lim和lim2都不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。
x?2x?2x?2x?44?x?211?1?2?lim2?lim?. 正确做法是：lim??x?2x?2x?4?x?2x?4x?2x?24?(4) 因为limx?0?31?x?1?0，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
?正确做法是：lim3x?01?x?11?x?1?limx?0(1?x)?(1?x)?1223131?x?1?3. 23. 求下列极限： (1) lim(n?1)(2n?2)(3n?3)?1?3????2n?1?2n?1?； (2) lim???; n??n??n?122n3??(3)lim2x?sinx; (4) limx???x??5x?sinx??x?1??x?2??x?; (5)
limx?42?x3?2x?1;
xsin2xe2x?1?x?1?（6）limln; (7)lim；（8）lim?2csc2x?cotx?; (9)lim??; x??x?1x?0ln?1?6x?x?0x??x??
x?1?(10)lim?1??; (11) lim(1?2x)sinx;
x???x??x??3(12) lim1?cosx;
x?0ex?1ln1?x????
123(1?)(2?)(3?)(n?1)(2n?2)(3n?3)nnn?3； 解：(1) lim?lim3n??n??2n2?1?3????2n?1?2n?1??n22n?1??3n?13(2) lim???lim???lim??; ??n??n?12?n???n?12?n??2(n?1)2?sinx2x?sinxx?2; (3)lim?limx??5x?sinxx??sinx55?x2?(4) limx?????x?1??x?2??x??xlim???3x?23??limx???2x?x?1??x?2??x?1??2??1???1???1x??x???3; 4?3; 2(5) limx?42?x3?2x?1?limx?4(4?x)(3?2x?1)2(4?x)(2?x)?limx?43?2x?12(2?x)（6）limlnx??sin2x2x?limln?ln2; x??xxe2x?12x1?lim?； (7)limx?0ln?1?6x?x?06x31cosxsin2xsinx（8）lim?2csc2x?cotx??lim(?)?lim?lim?0;
x?0x?0sinxcosxx?0sinxcosxx?0cosxsinx1(1?)x?x?1?x?e2; (9); lim??lim?x??x?1??x??(1?1)xxx
?1?(10)lim?1??x????x?x1???lim?1??x?????x??x??1x?1;
(11) lim(1?2x)x??3sinx?lim(1?2x)x??16x?2xsinx?e6;
12x1?cosx12(12) limx?lim2?. x?0e?1ln1?x????x?0x24. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，
使其在该点连续：
（1）y???x?1,x?1;
3?x,x?1?x2?x (2) y?.
x?x2?1?f(x)?lim(x?1)?0，limf(x)?lim(3?x)?2，所以x?1是函解：（1）因为lim????x?1x?1x?1x?1数f(x)的跳跃间断点。
(2) 因为f(x)在x?0，x??1无定义，因此x?0，x??1为函数的间断点，
x2?x?1f(x)?lim?lim??1， 因为limx?0?x?0?xx2?1x?0?x?1??x2?x1limf(x)?lim?lim?1，所以x?0是函数f(x)的跳跃间断点； x?0?x?0?xx2?1x?0?x?1??x2?x11?lim?因为limf(x)?lim，所以x?1是函数f(x)的可去间断点，
x?1x?1xx2?1x?1x?12??补充定义f(1)?1，则f(x)在x?1连续； 2x2?x1?lim??，因为limf(x)?lim所以x??1是函数f(x)的无穷间断
x??1x??1xx2?1x??1x?1??点。
?cosx,x?0,??x?25．设f(x)＝f?x???
a?a?x?,x?0?a?0?.?x?(1) 当a为何值时，x?0是f?x?的连续点?
(2) 当a为何值时，x?0是f?x?的间断点?是什么类型的间断点?