2?x2?2x?111?1?2?lim?lim?(4) lim?; ?x?1x?1x?1(x?1)(x2?1)x?1x?1x?12???xx?x?x1(5) lim?2; ??lim?lim??x??2x??2x?1x??112x?1(2x?1)(2x?1)4??(2?2)(2?)xx32321?1x（6）limx???x2?x?arccotxx3?x?5; 因为arccotx??11?2x?xxx?0，所，且lim3?limx??x?x?5x??151?2?xx2x?以limx??2?x?arccotxx3?x?5?0
1111?????n393(7) limn??1111?????n24211?()n?13111?1?()n?133?lim33?lim?;
n??n??4111?()n?11?()n?142211?2?n(n?1)??n??n1?1?2?3???nn?2(8)lim????lim????lim??;
n??n?22?n???n?22?n??2(n?2)2????x2?1?x2?1x?1?ln[lim]?ln[lim]?ln1?0. (9) limln??x?1x?12(x?1)x?12(x?1)2??x?0?x?1,?3.已知 f(x)??x2?3x?1, 求 limf(x),x?0,x?0?3?x?1x???limf(x),x???limf(x).
x2?3x?1解：因为lim f(x)?lim(x?1)??1，所以limf(x)??1，f(x)?lim??1，limx?0x?0?x?0?x?0?x?0?x3?1x2?3x?1limf(x)?lim?0，limf(x)?lim(x?1)???。
x???x???x???x???x3?1习题2-5
1.求下列函数的极限：
n2?sinx(1)limR2sin; (2)lim; n??2x????xnxarctan3x(3)lim; （4）lim;
x?0?x?0sin2x1?cosx(5)lim1?cos4x;
x?0xsinx (6)limx?1sin?x?1?x2?1.
n2?解：(1)limR2sin?lim?R2n??2nn??sin2?n2?n??R2;
(2)limsinxsin(??x)?lim?1;
x????xx????xarctan3xarctan3x2x3x3?lim?;
x?0sin2xx?03xsin2x2x2x1?cosx?lim?x?0(3)lim
x2（4）lim?x?0x2sin2x2?lim2?x?0x2sin2?2; sin22x81?cos4x2sin22x(2x)2?lim?lim?8; (5)limx?0x?0xsinxx?0sinxxsinxx
(6)limx?1sin?x?1?x2?1?limx?1sin?x?1??x?1?(x?1)?1. 22. 求下列函数的极限: ?x?(1)lim??; x??1?x??x-3?2x?1? (2)lim??; x??2x?1??cotxx(3) lim?1?2tanx??x?0;
(4)lim?1?cosx?x?3-x3secx?.
3?x23?x?解：(1)lim??x??1?x??x-3?1?x??lim??x???x??1??lim?1??x??x???1??1??x???x?1??1??lim?1??lim?1??x??x?x???x???e?1;
(2x?1)1x1?x?2x?1??lim?lim(1?)lim(1?) (2)lim??x??2x?1x??(2x?1)xx??x??2x2x??)12x?11?2x?(?122?lim(1?)lim(1?)?e; x??x??2x2xxx(3) lim?1?2tanx??x?0cotx?lim?1?2tanx??x?03cosx22tanx?e2;
(4)lim?1?cosx??x?23secx?lim?1?cosx?x???e3.
2
习题2-6
1. 当x?0时，2x?x2与x2?x3相比，哪个是高阶无穷小量？
x2?x3x?x2解：因为lim?lim?0，所以x2?x3比2x?x2高价。 2x?02x?xx?02?x2. 当x?1时，无穷小量1?x与（1）1?x3；（2）
11?x2?是否同阶？是否等价？ ?21?x3(1?x)(1?x?x2)解：因为lim?lim?3，所以1?x与1?x3是同阶无穷小，
x?11?xx?11?x11(1?x2)(1?x)(1?x)1222?lim?1，因为lim故无穷小量1?x与 1?x是等价无穷小。 x?1x?11?x1?x2??3. 利用等价无穷小，求下列极限:
sinaxcosax?cosbx(1)lim?; (2)lim；
x?0x?0x21?cosxx2arctanx21?x（3）lim； （4） lim； x??x??ln(1?x)xsinarcsinx2lnsin2x?ex?x1?cos4x（5） lim； （6） lim.
x??2sin2x?xtan2xx??ln(x2?e2x)?2x解：(1)lim?x?0??sinax1?cosx?lim?x?0ax12x2?2a;
(2)limcosax?cosbx?limx?0x?0x2?2sinax?bxax?bxax?bxax?bxsin?2b2?a22222?lim?；
x?0x2x22arctanx2x2?lim?2； （3）limx??x??xxsinarcsinxx22x2xx1?x?lim?lim??1； （4） limx??ln(1?x)x??ln(1?x)x???x1?cos4x8x2?lim（5） limx??2sin2x?xtan2xx??sin2x(2?xcos2x8x2?lim2?4； x??2x)?sin2x?exln?ln?sin2x?ex??xln?sin2x?ex??lnexex??lim?lim（6） limx??ln(x2?e2x)?2xx??ln(x2?e2x)?lne2xx??x2?e2xln(2x)e???
2?sin2x?sinxln?1?x?xe??xe?lim?lime?1. ?lim22x??x??x??xxln(1?2x)ee2x习题2-7
1.研究下列函数的连续性，并画出图形：
?x2,0?x?1,（1） f(x)??
?2?x,1?x?2;??x,x?1,（2） f(x)??
1,x?1;??1?x2nx. （3）f(x)?limn??1?x2n解：（1）f(x)在区间(0,1)和(1,2)是初等函数，因此在区间(0,1)和(1,2)f(x)是连续函数，
f(x)?limx?0?f(0)，所以f(x)在点x?0右连续， 因为lim??x?0x?02f(x)?lim(2?x)?1，且f(1)?1，所以f(x)在点f(x)?limx2?1，lim因为lim????x?1x?1x?1x?1x?1连续，
综上所述，f(x)在区间[0,2)是连续函数。
)(?1,1)和(1,??)是初等函数，因此在（2）f(x)在区间(??,?1，(??,?1)?(?1,1)?(1,??)上f(x)是连续函数，
f(x)?lim1?1，limf(x)?limx?1，1)1?，因为lim且f(所以f(x)在点x?1连????x?1x?1x?1x?1续，
因为lim?f(x)?lim?x??1，lim?f(x)?lim?1?1，所以f(x)在点x??1间断，
x??1x??1x??1x??1综上所述，f(x)在区间(??,?1)?(?1,??)是连续函数，在点x??1间断。
1?x2nx?x， （3）由题意知f(1)?0，f(?1)?0，当x?1时，f(x)?limn??1?x2n1?x2n当x?1时，f(x)?limn??1?x2n1?x x?1?12n? x?limxx??x，因此f(x)?? 0 x?1 ，
n??1??x x?1?12n?xf(x)在区间(??,?1，(?1,1)和(1,??)是初等函数，因此在(??,?1)?(?1,1)?(1,??)上f(x)是连续函数，
f(x)?lim(?x)??1，limf(x)?limx?1，所以f(x)在点x?1间断， 因为lim????x?1x?1x?1x?1因为lim?f(x)?lim?x??1，lim?f(x)?lim?(?x)?1，所以f(x)在点x??1间
x??1x??1x??1x??1断，
综上所述，f(x)在(??,?1)?(?1,1)?(1,??)上连续，在点x??1间断。
2. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，
使其在该点连续：
(1) y?1?cos2x1; (2) ; y?arctan2xx?1x(3) y?e；
x2?1 （4）y?2；
x?3x?2?sinx,x?0,? (6) f?x???x
?0,x?0;?2tanx(5) y?;
x解：(1) y?1?cos2x在x?0无定义，因此x?0为函数的间断点， x21?cos2x2x2?lim2?2，所以x?0为函数的可去间断点，补充定义又因为lim2x?0x?0xxf(0)?2，原函数就成为连续函数。
1(2) y?arctan在x?0无定义，因此x?0为函数的间断点，
x由lim?x?011?11????，可得lim?arctan?，由lim???limarctan??，可得，
x?0x?0?xx?0?xx2x2?1x所以x?0为函数的跳跃间断点。
(3) y?e在x?0无定义，因此x?0为函数的间断点，
11??11ex?0，由lim????，可得limex???，所以x?0???，可得lim由lim???x?0x?0x?0xx?0x为函数的无穷间断点。
x2?1(x?1)(x?1)（4）y?2在x?1,x?2无定义，因此x?1,x?2为函数的?x?3x?2(x?1)(x?2)间断点，