求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，
a2?a1?f(1)则
a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)
两边分别相加得 an?1?a1??f(n)
k?1n例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解法一：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3n?n?1.
解法二：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1
，得
an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333
1n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322a?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函
评注：已知a1?a,n?1数、分式函数，求通项
an.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列
{an}中, an?0且
Sn?1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.
Sn?解:由已知
1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1,
2222S?S?nS?S?2?3???n, nn?1n1化简有,由类型(1)有
又S1?a1得a1?1,所以
2Sn?n(n?1)sn?a?02,又n,2n(n?1)2,
则
an?2n(n?1)?2n(n?1)2
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，??，n?1?f(n) ana1a2annan?1两边分别相乘得，?a1??f(k)
a1k?1例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
22??n?1a?na?an?1an?0（n=1，2， 3，?）??an?1nn例5.设是首项为1的正项数列，且，
则它的通项公式是an=________.
解：已知等式可化为：
(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0
an?1n??nan?0, 即ann?1
*?an?0(n?N)?(n+1)an?1ann?1?n ?n?2时，an?1an?anan?1a????2?a1n?1?n?2??1?11an?1an?2a1n?12=n. =n?评注：本题是关于
an和an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
an与an?1的更为明显的关系式，从而求出an.
练习.已知
an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.
答案：
an?(n?1)!?(a1?1)-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
an?1?nan?n?1,转化为
an?1?1?n(an?1),若令bn?an?1,则问题进一步转化为bn?1?nbn形式，进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如
an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型
an}为等差数列; an}为等比数列;
（1）若c=1时，数列{
（2）若d=0时，数列{
a（3）若c?1且d?0时，数列{n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.
待定系数法：设
an?1???c(an??),
得
an?1?can?(c?1)?,与题设an?1?can?d,比较系数得
(c?1)??d,所以
??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1所以有：
d??da?a1??n?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列， 因此数列?an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：
dd?c(an?)c?1c?1,构造成公比为c的等比数列
所以
规律：将递推关系
an?1?can?d化为
an?1?{an?ddd}an?1??cn?1(a1?)c?1从而求得通项公式1?cc?1