5例15 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
5解：因为an?1?2?3n?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。
两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 比较系数得， x?由lga1?
（同类型四）
lg3lg3lg2,y?? 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0，得lgan?n???0， 416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n??}是以lg7???为首项，以5为公比的等比数列，41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此则lgan?41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??41644641411614n?1?[lg(7?3?3?2)]5?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an?75?3
n?1?lg(3?3?2)n411614n411614141161n?145
?lg(3?3?2))5n?4n?116?25n?1?145n?4n?116?25n?1?14。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列{an}满足an?1?2an,a1?1，求数列{an}的通项公式。 an?2111111?11?11??,???,????为等差数列，首项?1，公差为，解：求倒数得
an?12anan?1an2?an?1an?2a1?
112 ?(n?1),?an?an2n?1七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?1(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn?1?(bn?3)
因为bn?1?24an?0， 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数列，因此2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以
1111bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得
2222an?21n1n1()?()?。 3423八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳
法加以证明。 例18 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 1229(2n?1)(2n?3)8(1?1)88?224???22(2?1?1)(2?1?3)99?25258(2?1)248?348 a3?a2????22(2?2?1)(2?2?3)2525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，下面用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)2(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。 2(2?1?1)9(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，
(2k?1)2ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1) ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2 ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1 ?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1 ?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。 九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有Sn，又有an
*
分析：把已知关系通过an??方法求解。
?S1,n?1转化为数列?an?或Sn的递推关系，然后采用相应的
S?S,n?2n?1?n1(an?1)(an?2)，且a2,a4,a9成6例19 已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn?等比数列，求数列{an}的通项公式。
?解：∵对任意n?N有Sn?1(an?1)(an?2) ⑴ 6∴当n=1时，S1?a1?当n≥2时，Sn?1?1(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2 61(an?1?1)(an?1?2) ⑵ 6⑴-⑵整理得：(an?an?1)(an?an?1?3)?0 ∵{an}各项均为正数，∴an?an?1?3
2当a1?1时，an?3n?2，此时a4?a2a9成立
2当a1?2时，an?3n?1，此时a4?a2a9不成立，故a1?2舍去
所以an?3n?2
练习。已知数列{an}中, an?0且Sn?1(an?1)2,求数列{an}的通项公式. 2答案：Sn?Sn?1?an (an?1)2?(an?1?1)2 an?2n?1 2、对无穷递推数列
例20 已知数列{an}满足a1?1求{an}的通项公式。 ，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan.
②
①
则an?1?(n?1)an(n?2) 故
an?1?n?1(n?2) an所以an?anan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22 ③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，
则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?
n!。 2n!. 2十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0?D，使f(x0)?x0成立，则称x0为
f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f(x)的不动点。
分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。 类型一：形如an?1?qan?d
例21 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x)?2x?1，由f(x)?x得，不动点为-1 ∴an?1?1?2(an?1)，?? 类型二：形如an?1?a?an?b
c?an?da?x?b
c?x?d分析：递归函数为f(x)?（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得
an?1?pan?pa?pc(a1q?pq)kn?1?(a1p?pq)，其中k?，∴an? ?k?n?1a?qcan?1?qan?q(a1?p)k?(a1?q)（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得
2c11。 ??k，其中k?a?dan?1?pan?p例22. 设数列{an}满足a1?2,an?1?5an?4,求数列{an}的通项公式.
2an?7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
an?17t?45a?4(2t?5)an?7t2t?5, ?t?n?t??(2t?5)2an?72an?72an?7an?