逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系两式相减有
an?1?can?d中把n换成n-1有an?can?1?d,
an?1?an?c(an?an?1)从而化为公比为c的等比数列{an?1?an},进而求得通项公式.
an?1?an?cn(a2?a1),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解法一：?an?2an?1?1(n?2), ?an?1?2(an?1?1)
又?a1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列 ?an?1?2n，即an?2n?1 解法二：?an?2an?1?1(n?2), ?an?1?2an?1
两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比为2的等
比数列，再用累加法的??
练习．已知数列
{an}中，
a1?2,an?1?11an?,22求通项an。
1an?()n?1?12答案：
na?p?a?qn?1n2．形如： (其中q是常数，且n?0,1)
na?a?qn?1n①若p=1时，即：，累加即可.
na?p?a?qp?1n?1n②若时，即：，
n?1p求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
an?1n?1p即：
?anqn?an1pn1pbn?1?bn??()n?()bn?npq,然后类型1，累加求通项. pq,令p，则
n?1qii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
an?1n?1q 即：
?pan1?n?qqq,
bn?1?p1?bn?qq.然后转化为类型5来解，
bn?令
anqn,则可化为
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
n?1na???q?p(a???p).通过比较系数，求出?，转化为等比数列求通项. n?1n设
注意：应用待定系数法时，要求p?q，否则待定系数法会失效。
n?1{a}a?2a?4?3，a1?1，求数列?an?的通项公式。 nn?1n例7已知数列满足
nn?1a??3??(a???3)，比较系数得?1??4,?2?2， n?112n解法一（待定系数法）：设
?a则数列
n?4?3n?1?1?1a?4?3??5，公比为2的等比数列，
是首项为1n?1n?1n?1n?1a?4?3??5?2a?4?3?5?2所以n，即n
an?12an4??n?2n?1n?1n?1q33333，下面解法略 解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：
解法三（两边同除以p 3．形如
n?1an?1an43n?n??()n?1n?132，下面解法略 222）： 两边同时除以得：
an?1?pan?kn?b (其中k,b是常数，且k?0)
方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤：
(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y);
1、确定f(n)=kn+b
2、设等比数列
bn?(an?xn?y)，公比为p
3、列出关系式
(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y),即bn?pbn?1
4、比较系数求x,y 5、解得数列
(an?xn?y)的通项公式
6、解得数列
?an?的通项公式
例8 在数列{an}中，a1?1,an?1?3an?2n,求通项an.（逐项相减法）
解：?，
an?1?3an?2n, ①
?n?2时，an?3an?1?2(n?1)，
两式相减得
an?1?an?3(an?an?1)?2.令bn?an?1?an,则bn?3bn?1?2
利用类型5的方法知bn?5?3n?1?2n?1 即
an?1?an?5?3?1 ② a?52?3n?1?n?12a51再由累加法可得
n 亦可联立 ① ②解出n?2?3n?1?n?. 2.
a31?,2例9. 在数列{an}中，
2an?an?1?6n?3,求通项an.（待定系数法）
解：原递推式可化为
2(an?xn?y)?an?1?x(n?1)??y
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
2bn?bn?1
b91?b91?1所以
?bn?是一个等比数列，首项
1?a1?6n?9?2,公比为2.n?2(2)n a6n?9?9?(1n?2)n
a1n?9?()n?6n?故29.
即：
2a?pa?a?n?b?n?c (其中a,b,c是常数，且a?0) n4．形如n?1基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 例10 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) 比较系数得x?3,y?10,z?18，
所以an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) 由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0，得an?3n2?10n?18?0
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182则，故数列?2{a?3n?10n?18}为以n2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
5.形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解
分析：原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) 的形式，比较系数可求得?，数列
?an?1??an?为等比数列。
例11 已知数列
{an}满足an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列{an}的通项公式。
解：设
an?2??an?1?(5??)(an?1??an)
比较系数得???3或???2，不妨取???2，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则
an?2?2an?1?3(an?1?2an)，则?an?1?2an?是首项为4，公比为3的等比数列
?an?1?2an?4?3n?1，所以an?4?3n?1?5?2n?1
a?4an?1?3an?0,求an.
练习.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足n?2na?11?3n答案： .
ra?pan?1n四、迭代法 (其中p,r为常数)型
3(n?1)2{a}a?a，a1?5，求数列{an}的通项公式。 nn例12 已知数列满足n?1n3(n?1)2a?an?1n解：因为，所以
n3n?23(n?1)?2an?an?[an]3n?2?1?23(n?2)?2 ?[an]3(n?1)?n?2?33(n?2)(n?1)n?2 ?an?33n?32n?1n?2n?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1) ?? ?a13 ?an?1?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21
3n?1?n!?2n(n?1)2又
a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?5。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
ra?0 a?pan?1n五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，n2??aan?的通项公式. a?2aa?1n?1（n≥2）.求数列?例14. 设正项数列n满足1，nananan?1anan?1b?loglog?1?2loglog?1?2(log?1)2?1，则2222解：两边取对数得：，，设nbn?2bn?1 ?bn?是以2为公比的等比数列，b1?log1b?1?2n?1?2n?1，2?1?1 n2ann?1n?1na?2logalog?2?1n2?1?22，，∴
n?1?1
练习 数列
?an?中，a1?1，an?22?nan?1（n≥2），求数列
?an?的通项公式.
2?2a?2n答案：