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实数
一、知识要点概述
数形结合的思想是本题的解题关键，应学会从数轴上读出足够多的信息为自己所用，同时要熟记各种法则及应用．
2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系．
3、有理数都可以表示为的形式(p、q为整数且p、q互质)；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数．
4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0；开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行．
5、实数的大小比较有三种方法：
①数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数．
②差值比较法：对于实数a，b，当a－b＞0时a＞b；当a－b=0时，a=b；当a－b＜0时a＜b．
③商值比较法：对于两个正数a，b，当
时a＞b；当
时a＜b；当
时，a=b．
例3、(1)如果
，求2x－y＋z的值．
6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 7、科学记数法：把一个数记成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为整数，科学记数法表示的数的有效数字以a的有效数字计算．
8、非负数：正数和零统称为非负数，象|a|，a2，
形式的数都是表示非负数．
(2)若|x＋2y＋3|＋x2＋y2=2xy，求xy的值．
9、非负数的性质：①最小的非负数是零；②若n个非负数的和为零，则每个非负数都为零． 二、典例剖析
例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简
解：
由数轴可知：a＞0＞b，|a|＜|b|得b－a＜0，a＋b＜0，所以： 点评：
．
点评：
算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意几个非负数的和为零时，可得绝对值内代数式为0，算术平方根的被开方数为0，平方的底数为0． 例4、填空题： (1)近似数3.20×107精确到________位，有________个有效数字． (2)将908070万保留两个有效数字，用科学记数法表示为________．
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(3)光的速度约为3×105千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5×102秒，则地球与太阳的距离是________千米．
解：(1)十万，3 (2)9.1×109 (3)3×105×5×102=1.5×108千米 点评：
科学记数法是中考中常考的题目．应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值，并会用科学记数法．
(1)整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项． (2)整式的乘除 a．幂的运算性质
＋
①am·an=amn(a≠0，m，n为整数) ②(am)n=amn(a≠0，m，n为整数) ③(ab)n=anbn(n为整数，a≠0，b≠0) b．零指数幂与负整数指数幂
例5、已知a、b是有理数，且，求a、b的值．
(3)乘法公式
a．平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2 b．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2 4、基本规律
(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类．
点评：
把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组． 例6、函数y=|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|，当x取何值时，y有最小值且最小值是多少？ 分析：
先确定三个绝值的零点值，把x的取值范围分为四个部分，然后逐一讨论所求代数式的取值情况从而确定其最小值． 解：
当x≥－1时，y=x＋1＋x＋2＋x＋3=3x＋6≥3；
当－2≤x＜－1时，y=－x－1＋x＋2＋x＋3=x＋4≥2；
当－3≤x＜－2时，y=－x－1－x－2＋x＋3=－x，此时无最小值； 当x＜－3时，y=－x－1－x－2－x－3=－3x－6，此时无最小值． 所以当x=－2时，y的值最小，最小值是2． 点评：
(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则(字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关．)
(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似．
5、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解．
6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法． 7、因式分解常用的公式如下： ①a2－b2=(a＋b)(a－b) ②a2±2ab＋b2=(a±b)2． 二、典例剖析 例1、填空题
解答此类题目的一般步骤是：①求零点，划分区间；②按区间分别去掉绝对值的符号．
整式
一、知识要点概述 1、代数式的分类
(1)如果单项式
与－2x3ya
＋b
是同类项，那么这两个单项式的积是__________．
(2)m，n满足|m－2|＋(n－4)2=0．分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．
2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．合并同类项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变． 3、整式的运算
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例2、若3x3－x=1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2008的值． 分析：
此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值．
解：由3x3－x=1得3x3－x－1=0 所以9x4＋12x3－3x2－7x＋2008
=3x(3x3－x－1)＋4(3x3－x－1)＋2012 =2012
例3、已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，求
的值．
3
2
分析：
由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，根据多项式恒等的条件可列出关于m，n的二元一次方程组，进而求出m、n． 解：由题意得：
(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6
又因为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn 根据多项式恒等的条件，得：
例6、若2x－kx＋3被2x＋1除后余2，求k的值． 分析：
要求k的值，需找到关于k的方程，由2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，可知2x3－kx2＋1能被2x＋1整除，由此可得关于k的一次方程．
点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数．
分析：
本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化．
点评：关键是利用余数定理找出关于k的方程，当f(x)能被x－a整除时，f(a)=0． 例7、分解因式 (1)a4＋4； (2)x3－3x2＋4；
(3)x2＋xy－6y2＋x＋13y－6；
(4)(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1) 解：(1)a4＋4=a4＋4a2＋4－4a2=(a2＋2)2－(2a)2=(a2＋2a＋2)(a2－2a＋2) 点评：
本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解． (2)解法一：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2＋4 =x2(x＋1)－4(x＋1)(x－1) =(x＋1)(x－2)2
解法2：x3－3x2＋4=x3＋1－3x2＋3
=(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1) =(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2
点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算．
例5、已知a、b、c，满足
，求(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值．
分析：
条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．
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解法3：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2－4x＋4x＋4 =x2(x＋1)－4x(x＋1)＋4(x＋1) =(x＋1)(x2－4x＋4) =(x＋1)(x－2)2 点评：
这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．
(3)设x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y＋m)(x－2y＋n) =x2－2xy＋nx＋3xy－6y2＋3ny＋mx－2my＋my =x2＋xy－6y2＋(n＋m)x＋(3n－2m)y＋mn
说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号． 3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分．
4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分． 二、典例剖析
比较左、右两边对应项系数得：
例1、若分式
的值是绝对值最小的实数．则x=________．
分析：
绝对值最小的实数是0，从而得出分式的值为0，则分子为零且分母不为0，故可求出x．
∴x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y－2)(x－2y＋3). 点评：
这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x2＋xy－6y2=(x＋3y)(x－2y)，由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解．
(4)设x＋y=a，xy=b
则原式=a(a＋2b)＋(b＋1)(b－1)=a2＋2ab＋b2－1 =(a＋b)2－1=(a＋b＋1)(a＋b－1) =(x＋y＋xy＋1)(x＋y＋xy－1) =(x＋1)(y＋1)(x＋y＋xy－1) 点评：
解：
说明：
分式的值为0，分子为零都知道，但往往忽略分母不为0，这是此类题目的考察重点．
例2、如果n为正整数，是既约分数，那么
整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x＋y=a，xy=b进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解．
分式
一、知识要点概述 1、分式的概念和性质
分析：
n2＋3n－10=(n＋5)(n－2)，n2＋6n－16=(n＋8)(n－2)分式，分母有公因式n－2，但此分数为既约分数，从而有n－2=1，易可求n，进而求出此分式值．
(1)定义：若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成的形式，若B中含有字母，式子叫做分式．
说明：
解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分．
说明： 1°分式的值为0的条件是：分子为零且分母不为0；2°当分母为零时，分式无意义；3°分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似． 2、分式的运算法则
分析：
先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通分，然后将原式进行因式分解，以便约分化简．
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例4、若x取整数，则使分式的值为整数的x有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 分析：
将分式数的个数． 解：
∴当2x－1=±1或±3时，x为整数，0，1，2，－1； 当2x－1=±6或±2时，x都不是整数．
所以符合题意的x的取值只有4个，应选B项．
说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式．
分析：由已知可得到关于a、b、c的值，然后代入求值． 解：由3a＋2b－5=2(a－b＋2)得a＋4b－9=0 ① 由2b＋c－1=2(3b＋2c－8)得4b＋3c－17=0 ② 由c－3a＋2=2(2c＋a－b)得3c＋5a－14=0 ③ 解联立①②③组成的方程组得a=1，b=2，c=3．
二次根式
．
说明：对于含条件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行分析适当变形，并根据需要加以转化．
一、知识要点概述 1、二次根式：式子
叫做二次根式．
进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整
说明：添项、拆项是分式计算与证明的常用方法．此题可抓住左边分式的分子与分母的特点进行突破，如b－c=(a－c)－(a－b)就可以进行分拆．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (1)被开方数的因数是整数，因式是整式． (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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