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3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质
5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化． (3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式． (4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二、典例剖析
例3、已知xy＞0，化简二次根式 A．
B．－
的正确结果是（ ） C．
D．－
分析：
解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．
分析：
因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．
说明：
运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．
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例6、已知，求a＋b＋c的值．
分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．
点评：
应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，
是三种重要的非负数表现形式．判断
一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如： 在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简
不等式与不等式组 一、知识要点概述 1、不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变． (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
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2、不等式(组)的解法
(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
(3)设a＜b，那么：
对于(1)确定“零界点”x=2(令x－2=0得x=2)分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．
①不等式组的解集是x＞b(大大取大)；
②不等式组的解集是x＜a(小小取小)；
③不等式组的解集是a＜x＜b(大小、小大中间找)；
④不等式组的解集是空集(大大、小小题无解)．
3、不等式(组)的应用
会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：
(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)； (2)解不等式(组)；
(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案． 二、典例剖析
例1、(1)已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．
说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答． 例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．
分析：消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．
(2)已知关于x的不等式组
无解，则a的取值范围是________．
分析：
对于(1)，由题意知不等式的解在x＜4的范围内；对于(2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分． 解：
分析：
已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．
(1)由题意得，∴9≤a＜12．
(2)由(1)得x＞a，由(2)得x≤3，因不等式组无解，∴a≤3．
说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定．
例2、解下列关于x的不等式(组)． (1)|x－2|≤2x－10； (2)(2mx＋3)－n＜3x． 分析：
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当y甲－y乙=0时，解得x=50； 当y甲－y乙＞0时，解得x＞50； 当y甲－y乙＜0时，解得x＜50．
所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10～50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙更省钱． (3)①因为60＞50，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买． 若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元) ②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10－m)支毛笔，用优惠办法乙购买60－(10－m)=m＋50本书法练习本，设付款总金额为P，则： P=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)
所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P取得最小值为：2×0＋475=475(元)
故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．
例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．
(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来．
(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？ 分析：
若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本． 解：
(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：
例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法： 甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本； 乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．
(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式； (2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案． 分析：
(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解． 解：
(1)依题意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)； y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10) (2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25
解得：34≤x≤36
因为x为整数，所以x只能取34或35或36．
所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案： 第一种：生产A种产品34件，B种产品46件； 第二种：生产A种产品35件，B种产品45件； 第三种：生产A种产品36件，B种产品44件．
(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得： y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36) 由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为－80×36＋16000=13120元，即第三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120元． 说明：
利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值，是解方案设计型应用题的常用方法．
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方程与方程组
一、知识要点概述
1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．
(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1． (2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：
①当a≠0时，方程有唯一解；
点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．
(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母； (2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行； (3)恰当用整体思想．
例2、解下列关于x的方程． (1)4x＋b=ax－8(a≠4) (2)mx－1=nx
②当a=0，b≠0时，方程无解．
③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．
3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0(a≠0)
其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法． 4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的求根公式是：
注意：求根公式成立的条件为：①a≠0；②b2－4ac≥0．
5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
(3)
分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程没有实根，反之成立．
；
6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(α＋β)x＋αβ=0．
8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．
10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解． 11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究． 二、典例剖析
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