3年高考2年模拟1年原创 不等式
3年高考2年模拟1年原创 不等式
学科网学科网【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布
学科网从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想． 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。
学【考点pk】名师考点透析
学科网考点一、不等关系与不等式
学科网【名师点睛】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如a?b?0，n?N??an?bn中，注意后面大于０的条件，出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生．
【试题演练】
学科网学科网1、设a,b?R，若a?b?0，则下列不等式中正确的是（ ）
学科网3322A．b?a?0 B. a?b?0 C. b?a?0 D. a?b?0学科网
2、已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是( )A、a?b B、ab?ab C、
2222学科网ba11?? D、
abab2a2b学科网学科网解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。
点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a，b没有说明符号，注意不要错用性质。
学科网二、一元二次不等式及其解法
学科网【名师点睛】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．
学科网1
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（1）用图象法解一元二次不等式
教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解．（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系
学科网学科网学科网二次函数y?ax2?bx?c(a?0)是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值y?0的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值y?0（y≥0）或y?0（y≤0）的情况．一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的解对研究二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根x1，x2是函数值由正变负或由负变为
正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法．
学科网 【试题演练】
2学科网1、不等式x?x的解集是（ ）
学科网0) A．(??，1) B．(0，
，??) C．(10)?(1，??)D．(??，学科网解：原不等式可化为x2－x＞０，即x（x－１）＞０，所以x＜０或x＞１，选（Ｄ）．点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可．2、“x?2”是“x?x?6?0”的什么条件??（ ）
2学科网学科网学科网A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
学科网3、不等式2x2?2x?4?1的解集为 ．2x2?2x?4学科网?2?1，由指数函数的增减性，得：
x2?2x?4??1?(x?3)(x?1)?0?x?[?3,1]，所以填：[?3,1]。
解：原不等式变为2学科网学科网点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。
学科网4、已知集合A?x|x2?5x?4≤0，B?x|x2?2ax?a?2≤0，若B?A，求实数a的取值范围．
???? 2
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?f(1)≥0，?1?2a?a?2≥0，??2f(4)≥0，?18?4?8a?a?2≥0，?结合二次函数的图象，得?即 解得．2≤a≤??2a71≤?≤4，1≤a≤4，??2?4a2?4(a?2)≥0，?????≥0，?18?综上可知a的取值范围是??1，?．
7??学科网学科网点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。
三、基本不等关系
学科网学科网【名师点睛】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。
学科网利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：
学科网（1）当a，b都为正数，且ab为定值时，有a?b≥2ab（定值），当且仅当a?b时，等号成立，此时a?b有最小值；
学科网(a?b)2（2）当a，b都为正数，且a?b为定值时，有ab≤（定值），当且仅当a?b时，等号成立，
4此时ab有最大值．
创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．
学科网学科网【试题演练】
学科网1、已知x，y?R+，且x?4y?1，则x?y的最大值是 ．解： xy?学科网111x?4y21x?4y?()?，当且仅当x=4y=时取等号.
244216学科网学科网 点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。
2、已知a?0,b?0,且a?b?2,则（ ）
学科网 3
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(A)ab?1 2(B) ab?1 2(C)a?b?2
22
(D) a?b?322学科网解：由a?0,b?0,且a?b?2，∴4?(a?b)2?a2?b2?2ab?2(a2?b2)，∴ a?b?2。点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。
?学科网22学科网y23、已知x,y,z?R，x?2y?3z?0，则的最小值 ．
xz学科网
四、绝对值不等式
学科网【名师点睛】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。高考多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。
【试题演练】
学科网学科网１、 “|x－1|＜2”是“x＜3”的（ ）
学科网A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
学科网解：由|x－1|＜2得－１＜x＜３，在－１＜x＜３的数都有x＜３，但当x＜３时，不一定有－１＜x＜３，如x＝－５，所以选（Ａ）．
学科网点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。
学科网22、不等式x?x?2的解集为( )
学科网 （Ａ）??1,2? （Ｂ）??1,1? （Ｃ）??2,1? （Ｄ）??2,2?学科网?x2?x?2?0解：∵x?x?2 ∴?2?x?x?2 即?2，
?x?x?2?0∴x???1,2? 故选A；
22?x?R，??1?x?2?学科网学科网点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可
用公式法，平方法，特值验证淘汰法；
学科网学科网五、不等式的综合应用
学科网【名师点睛】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。
学科网（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；
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（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法. 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
学科网【试题演练】
学科网1.如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （Ⅰ）求x,y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x,y分别为多少时用料最省?
解：（Ⅰ）由题意得：x?y? y?学科网学科网学科网1xx??8(x?0,y?0), 224分
学科网8x?x4学科网（Ⅱ）设框架用料长度为l，则l?2x?2y?2x ?(316?2x)? ?46?42?8?42.2x学科网学科网（?2）x?当且仅当
3216,x?8?42,y?22,满足0?x?42. x学科网答：当 x?8?42米，y?22米时，用料最少.
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