3年高考2年模拟1年原创 不等式
学科网显然当且仅当t=0，即a=b=
1时，等号成立. 21， 4证法三：(比较法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤
1125a2?1b2?1254a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab41证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤，
425?2(1?ab)?1?2139??112516(1?ab)?1252?1?ab?1???(1?ab)????? 即(a?)(b?)?。
ab44416?1ab4?4??ab证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，
?2)，
11112(a?)(b?)?(sin2??)(cos??)absin2?cos2?sin4??cos4??2sin2?cos2??2(4?sin2?)2?16??4sin22?4sin22??sin22??1,?4?sin22??4?1?3. 4?2sin22??16?25??(4?sin22?)225???11244sin2???sin22?4?1125即得(a?)(b?)?.ab4点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
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3.已知函数f(x)=x+ x，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）
2两点的直线平行（如图）.求证：当n?N时，(Ⅰ)x2n?xn?3xn?1?2xn?1;*33
（Ⅱ）()12n?11?xn?()n?2。
2
2而xn?xn?3xn?12?2xn?1?4xn?12?2xn?1?(2xn?1)2?2xn?1，
所以xn?2xn?1，即
xn?11xxx122?,因此xn?n?n?1?????2?()n?1.又因为xn?xn?2(xn?xn?1),令?1xn2xn?1xn?2x122yn?xn?xn,则
111yn?1122?xn?()n?2,?.因为y1?x1?x1?2,所以yn?()n?1?y1?()n?2.因此xn?xn222yn2故()12n?11?xn?()n?2.
2点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力.
【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析
2009高考试题及解析 一、选择题
1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 A.p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d B.p:a＞1,b>1 q:f(x)?ax?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限 C.p: x=1, q:x?x D.p:a＞1, q: f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数 答案 A解析 由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d a＞b且c＞d，可举反例。选A。 2.（2009安徽卷文）“
”是“
且
”的
2A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A
解析 易得a?b且c?d时必有a?c?b?d.若a?c?b?d时，则可能有a?d且c?b，选A。
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3.（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B
解析 显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b 即由“a－c＞b－d”?“a＞b”
4.（2009天津卷理）0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则 A.?1?a?0 B.0?a?1 C.1?a?3 D.3?a?6 答案 C
5.（2009四川卷理）已知a,b,c,d为实数，且c?d。则“a?b”是“a?c?b?d”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）答案 B 解析 a?b推不出a?c?b?d；但a?c?b?d?a?b?c?d?b，故选择B。
1?b?d?3?(?5)?8；由a?c?b?d可得，解析2：令a?2,b?1,c?3,d??5，则a?c??a?b?(c?d)因为c?d，则c?d?0，所以a?b。故“a?b”是“a?c?b?d”的必要而不充
分条件。
6.（2009重庆卷理）不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(??,?1]?[4,??) B．(??,?2]?[5,??) C．[1,2]
22
D．(??,1]?[2,??)
解析因为?4?x?3?x?1?4对x?3?x?1?a?3a对任意x恒成立，所以
a2?3a?4即a2?3a?0，解得a?4或a??1 答案A
7.（2009天津卷理）设a?0,b?0.若3是3与3的等比中项，则 A . 8 B . 4 C. 1 D.
ab11?的最小值为 ab1 48.（2009重庆卷文）已知a?0,b?0，则A．2
11??2ab的最小值是（ ） abB．22
C．4 D．5
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答案 C解析 因为
111111??2ab?2?2ab?2(?ab)?4当且仅当?，且 ，即
ababababa?b时，取“=”号。
2.（2009湖南卷文）若x?0，则x?答案 2三、解答题
1.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m2的最小值为 . x2222解析 ?x?0?x??22，当且仅当x??x?2时取等号.
xxm?a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为
n.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h和h，则他对这两种交易的综合满意度为
12n?ah1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA(2)设mA3?mB时，求证：h甲=h乙； 53?mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多5少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 ?h0同
解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
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3mB211（2）当mA?mB时，h甲=??,
20511(m?20)(m?5)25BB(1?)(1?)100()?25?1mBmBmBmB由mB?[5,20]得11111?即mB?20,mA?12时， ?[,]，故当
mB205mB2010。 5甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（3）（方法一）由（2）知：h0= 令
m?12mB?5510mAmB10由h甲=得：A ??，??h0?mAmB25mA?12mB?55153510x)?(1y?)。同理，由h乙?h0?得：?x,?y,则x、y?[,1]，即：(1?4425mAmB515(1?x)(?1y4?)另一方面，x、y?[,1]1?4x、1+4y?[2,5],1?x、1+y?[,2],
242155(1?4x)(1?y)?,(1?x)(1?4y)?,当且仅当x?y?，即mA=mB时，取等号。
422所以不能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立，但等号不同时成立。
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