《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座
老苗汤 老苗汤泡脚 老苗汤官网 www.laomiaotan400315.com 第一讲 集 合
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：
（1）题型是1个选择题或1个填空题；
（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a?A；若b不是集合A的元素，记作b?A；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
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（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A?B（或A?B）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）A?A；2）??A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A?S，则，CS={x|x?S且x?A}称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=?，CS?=S。
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集A?B?{x|x?A且x?B}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集A?B?{x|x?A或x?B}。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：
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*
（1）A?A?A,A????,A?B?B?A; （2）A???A,A?B?B?A; （3）(A?B)?(A?B);
（4）A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；
（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。
四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合A?{x|x?12k?14,k?Z}，若x?92，则下列关系正确的是（ ）
A．x?A B．x?A C．{x}?A D．{x}?A 解：由于则
912k?14?2k?14中2k?1只能取到所有的奇数，而
92?184中18为偶数。
9?A,{}?A。选项为D； 22点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。
例2．设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） A．PQ
2
B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q
解：Q={m∈R|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类： ①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。 综合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案为A。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合Q中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质
例3．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
A．15 B．16 C．3 解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。选项为A；
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D．4
点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集?是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。
变式题：同时满足条件：①M?{1,2,3,4,5};②若a?M,则6－a?M，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。 答案：这样的集合M有8个。
例4．已知全集S?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。
解：∵CSA?{0}；
∴0?S且0?A，即x3?x2?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2
当x?0时，2x?1?1，为A中元素； 当x??1时，2x?1?3?S 当x?2时，2x?1?3?S
∴这样的实数x存在，是x??1或x?2。 另法：∵CSA?{0} ∴0?S且0?A，3?A
32∴x?x?2x＝0且2x?1?3
∴x??1或x?2。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x?0时，2x?1?1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA?{0}是两层含
义：0?S且0?A。
2其中m?0,且A?B,变式题：已知集合A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq}，
求q的值。
解：由A?B可知， ?m?d?mq（1）??m?2d?mq?m?d?mq2，或（2）?
?m?2d?mq2解（1）得q?1，
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解（2）得q?1,或q??12，
又因为当q?1时，m?mq?mq2与题意不符， 所以，q??12。
题型3：集合的运算
例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3}，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（ ） A．? B．｛x|0＜x＜3} C．｛x|1＜x＜3} D．｛x|2＜x＜3} 解：由对数函数的性质，且2>1，显然由log2x?1易得B?(2,??)。从而
A?B?(2,3)。故选项为D。
点评：该题考察了不等式和集合交运算。
例6．（06安徽理，1）设集合A??xx?2?2,x?R?，
2B??y|y??x,?1?x?2?，则CR?A?B?等于（ ）
A．R B．?xx?R,x?0? C．?0? D．? 解：A?[0,2]，B?[?4,0]，所以CR?A?B??CR{0}，故选B。 点评：该题考察了集合的交、补运算。 题型4：图解法解集合问题
例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是____ _。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A?B，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2。
点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（ ） A．I＝A∪B
B．I＝（CIA）∪B D．I＝（CIA）∪（CIB）
图 C．I＝A∪（CIB
）
解：方法一：CIA中元素是非2的倍数的自然数，CIB中元素是非4的倍数的自然
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