1.1.2 集合间的基本关系
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.
值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与?的区别. 三维目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.
2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点
教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. 课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间
有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)
欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2)?;(3)∈) 推进新课 新知探究 提出问题
(1)观察下面几个例子:
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}.
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？
(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?
(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A?B,试用Venn图表示集合A和B的关系.
(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动：教师从以下方面引导学生: (1)观察两个集合间元素的特点.
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA). (3)实数中的“≤”类比集合中的?.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当A?B时,A
B或A=B.
(7)方程x2+1=0没有实数解.
(8)空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠?). (9)类比子集. 讨论结果：
(1)①集合A中的元素都在集合B中; ②集合A中的元素都在集合B中; ③集合C中的元素都在集合D中; ④集合E中的元素都在集合F中.
可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.
(2)例子①中A?B,但有一个元素4∈B,且4?A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.
(3)若A?B,且B?A,则A=B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.
?图1-1-2-1
(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.
图1-1-2-2
图1-1-2-3
(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解. (8)空集.
图1-1-2-4
(9)若A?B,B?C,则A?C;若A应用示例
B,BC,则AC.
思路1
1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立？ A?B,B?A,A?C,C?A.
(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A?B成立,否则A?B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:
(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图. 解：(1)包含关系成立的有:B?A,C?A.
(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.
图1-1-2-5
变式训练
课本P7练习3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A?B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.
2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.
解：集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}. 变式训练
2007山东济宁一模,1
已知集合P={1,2},那么满足Q?P的集合Q的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个, 又集合Q?P,所以集合Q有4个.
答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.
思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n=0时,即空集的子集为?,即子集的个数是1=20;
当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为?,{a},即子集的个数是2=21;
当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为?,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22. ……
集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.
思路2
1.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=_______. 活动：先让学生思考B?A的含义,根据B?A,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为B?A,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论. 解：∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.
讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式. 变式训练
已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.
分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠?,由于NM,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.
解：由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?. 当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;
111,又∵NM,∴∈M.∴>2. aaa111∴0
2222.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}.
当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案：(1)?的子集有:?,即?有1个子集; {a}的子集有:?、{a},即{a}有2个子集;
{a,b}的子集有:?、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有4个子集;
{a,b,c}的子集有:?、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集. (2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集; 当n=1时,集合M有2=21个子集; 当n=2时,集合M有4=22个子集; 当n=3时,集合M有8=23个子集;
因此含有n个元素的集合M有2n个子集. 变式训练
已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.
A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个.
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. 知能训练
课本P7练习1、2. 【补充练习】 1.判断正误:
(1)空集没有子集. ( ) (2)空集是任何一个集合的真子集. ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( ) (4)若B?A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( ) 分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x?A时也必有x?B. 2.集合A={x|-1 分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集. 解：因-1 真子集:?、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个. 3.(1)下列命题正确的是 ( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为 ( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}?{1,0,2} ④?∈{0,1,2} ⑤?∈{0} A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M={x|3 分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, 无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于?只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系. ①应是{1}?{0,1,2},④应是??{0,1,2},⑤应是??{0}. 故错误的有①④⑤. (3)M={x|3 因3 M.