C. ?3?x?和?1?x?描述同一状态 D. 以上都不对 三、简答题
1、何谓定态？它有什么特点？
????答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数??r,t????r?e描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。
2、简述量子力学中态的叠加原理。
答：如果?1和?2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加??c1?1?c2?2（c1,c2是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于?1和?2的线性叠加态?时，粒子是既处在态?1，又处在态?2。
3、简述态叠加原理。
答：当?1,?2,.?.n.,..是.体系的可能状态，他们的线性迭加：
iEt??c1?1?c2?2?...?cn?n?...（c1,c2,...cn...是复数）也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理是微观粒子具有波动性的体现。
3、波函数??r,t?是应该满足什么样的自然条件？??r,t?的物理含义是什
2??么？
答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之
?2??r,t?表示在t时刻外，它还应该是单值、有限和连续的。积元中粒子出现的几率密度。
4、下列波函数所描写的状态是不是定态？ （1）?1(x,t)?u(x)eEix?it?E1t??r附近d?体
?v(x)eE?ix?it?E2t?;
(E1?E2);
（2）?2(x,t)?u(x)e?i?u(x)e?i （3）?3(x,t)?u(x)e2E?it??u(x)eEit?.
答：由?(x,t)是否与时间t有关来判定是否是定态
（1）?1(x,t)??1(x,t)*?1(x,t)?u(x)eix?v(x)e?ix与t无关------定态； （2）?2(x,t)??2(x,t)?2(x,t)?u(x)?[2?e非定态
（3）?3(x,t)?u(x)?[2?e5、以下说法是否正确：
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于?不能忽略的体系，而经典力学适用于?可以忽略的体系。
答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或?可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
6、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知
?单粒子（不考虑自旋）波函数?(r)，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而?且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过?(r)而完全确定。
22i2Et?2Et?2*2iE2?E1t?22?eiE1?E2t?]与t有关----
?e?i]与t有关------非定态
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
7、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
答：设?1和?2是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由?1和?2的线性叠加??c1?1?c2?2来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布
**由??c1?1?c2?2确定，?中出现有?1和?2的干涉项2Re[c1c2?1?2]，c1和c2222的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
8、量子态的叠加原理常被表述为：“如果?1和?2是体系的可能态，则它们的线性叠加??c1?1?c2?2也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现?(x,t)?c1(t)?1(x)?c2(t)?2(x)；
?（2）对其中的c1与c2是任意与r无关的复数，但可能是时间t的函数。这种理解正确吗？
答：（1）可能，这时c1(t)与c2(t)按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t) 已知?1和?2是体系的可能态，它们应满足波方程式 i???1??2?H?1 i??H?2 ?t?t如果?1和?2的线性叠加?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t)也是体系的可能态，就必须满足波方程式 i????H?，然而， ?ti?dc??2dc??????1?i??c1??11?c2??22??tdt?tdt???t
dcdc???c1H?1?c2H?2?i???11??22?dt??dt 可见，只有当
dc1dc2????0时，才有i??H(c1?1?c2?2)?H?。 dtdt?t因此，?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t)中，c1与c2应是任意复常数，而不是时间t的复函数。如上式中?态不含时间，则有?(x)?c1?1(x)?c2?2(x)。
9、（1）波函数?与k?、ei??是否描述同一态？
（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？?1??2；c1?1?c2?2；
c1ei?1?1?c2ei?2?2。这里c1,c2是复常数，?1,?2是实常数。
答：（1）?与k?、ei??描述的相对概率分布完全相同，如对空间x1和x2两
点的相对概率
?(x1)?(x2)）
22?k?(x1)k?(x2)22?ei??(x1)ei??(x2)22，故?与k?、ei??均描述同一态。
（2
2由
2于
2任意复数
c?cei?，以及
***c1?1?c2?2?c1?1?c2?2?c1c2?1?2?c1c2?1*?2
显然，只有当复数c1?c2?c，即c1?c2?c，且ei?1?ei?2?ei?时，?1??2；
c1?1?c2?2?c(?1??2)；c1ei?1?1?c2ei?2?2?c(?1??2)ei?均描述同一态。
10、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：定态的线性叠加
?(x,t)??cn?n(x)e?iEt/?，?(x,t)态中平均值E???*H?dx??cnEn与t无
n2nn关，所以叠加态?(x,t)是定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？
答：（1）能量不同的定态的叠加态?(x,t)??cn?n(x)e?iEnt/?中，不具有确
n定的能量值，尽管E与t无关，但位置概率密度
**W(x,t)??(x,t)??cncm?n(x)?m(x)ei(En?Em)t/依赖于时间t，这表明任意定态的叠
n,m2加不再具有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态
?(x,t)??cn?n(x)e?iEt/?仍是波动方程的解。因此，只能说定态解（H不显含时
nn间t）是体系含时波动方程i????H?的解，但不能说该体系的含时波动方程的?t解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程H??E?中明显出现E，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。
11、何谓定态? 它有何特征？
答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定
?V?0，则体系可以处于定态。 ?t定态具有以下特征:
???（1）定态波函数时空坐标可以分离，?(r,t)??(r)e?iEt/?，其中?(r)是哈密
顿量H的本征函数，而E为相应的本征值；
（2）不显含时间t的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。
?注意，通常用?(r)表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态
的波函数都是含时的。
12、波函数有哪些性质？
答：（1）单值，这是由概率密度的确定性所要求的。
????????，，连续，?(ln?)?也连续。 ?x?z?y?（2）连续，?，
（3）有界，概率不可能无穷大
（4）?是平方可积的，??d3r???*?d3r?C。
13、写出定态Schrodinger方程，并写出处于定态的波函数的形式以及处于定态的粒子具有的特征。
2??????????r??E??r?，其中H?2?V?r? 解：定态Schrodinger方程为H2m22??? 定态波函数为??r,t???E?r?e?iE/?,?E?r?为能量本征函数。 处于定态的粒子具有的特性：
（1）粒子在空间的几率密度与几率流密度不随时间变化； （2）任何（不显含时间的）力学量的平均值不随时间改变； （3）任何（不显含时间的）力学量的测量几率不随时间改变。 四、证明题