1、证明在定态中，几率流与时间无关。 证明：对于定态，可令
?????Et?(r，t)??(r)f(t)??(r)e?i?J?(???*??*??)2miiii?Et?Et ???Et???Et*??i? ?[?(r)e?（?(r)e）??*(r)e??（?(r)e?）]2m????i? ?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]2m? 可见J与t无关。
补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ???*?dx??dx??
??i ∴波函数不能按?(x)dx?1方式归一化。
?2?2其相对位置几率分布函数为???2、由Schr?dinger 方程
?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
??22???i??(r,t)?[???V(r)]?(r,t)?t2???证明：几率守恒： ?t????J?0其中几率密度： ?(r,t)??(r,t)?(r,t)?|?(r,t)|?几率流密度： J?i?[?????????]2?证明：考虑 Schr?dinger 方程及其共轭式：
?????2??22i???[???V]??t2????22?i???[???V]???t2?(1)(2)将???(1)???(2)式得：????2i????i?????[???2????2??]?t?t2????2?i?（??）???[?????????]?t2?
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
d?2?i??（??）d??dt?2?di??（??）d???dt??2?????[?????????]d?????[?????????]d???d?(r,t)d?????Jd?????dt??????J?0?t3、证明粒子处于定态时能量E为实数。
iEt?证: 设波函数??r,t????r?e?，
概率密度w?r,t????r,t???r,t????r?e?iE?t???r,t?e?iEt???2?r?iE??Ete???
dw?r,t??0 则由定态性质，概率与时间无关，即：
dt?E??E?0?E??E 证毕
五、计算题
1、设波函数??x??Ae??2、设 ?(x)?Ae1??2x2222
x，?为常数，求归一化常数A。
(?为常数)，求A = ？
3、如果粒子的状态由波函 ?(x)?Ax(a-x)，0?x?a，求归一化系数A。 4、维粒子的状态是??x??Ae??|x|，其中?为实参数，求归一化常数A。
5、设波函数为??ea,???x??,?x22a?0，求其归一化常量。
6、波函数为??sinx，0?x??，求其归一化波函数。 7、已知做直线运动的粒子处于状态??x??1。（1）将??x?归一化；（2）1?ix求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。
?Axe??x,8、一维运动的粒子处于 ?(x)???0(x?0) 的状态，式中
(x?0)??0， 求：（1）归一化常量A；（2）粒子的概率密度；（3）粒子出现在何
处的概率最大？
9、束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：
??x??0??x??Aeikxcos??x??0x??3?xLLx?2L2?LL ?x?22（a）、求归一化常数A；（b）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？
10、设粒子归一化波函数为??x,y,z?，求在?y,y?dy?范围内找到粒子的几率。
解：波函数已归一化，故在?y,y?dy?范围内找到粒子的几率，应将x,z分
2量积分掉，即P??????x,y,z?dxdz?dy。
??11、设波函数为 ?(x,y,z)，求在(x,x?dx）范围找到粒子的几率。
解:P?x????x,y,z?dx
212、粒子处于状态：?(x)?Acos(kx)，求粒子的平均动量和平均动能。 13、设t=0时，粒子的状态为?(x)?A[sin2kx?1。求此时粒子的平2coskx]均动量和平均动能。
14、对于以动量P沿x方向运动的自由粒子，按de broglie假定，用一个平
面波?(x,t)?ei(kx??t)描述，计算粒子的流密度jx。
?kp1????v [??(?i?)???(?i?)??]＝
mm2m?x?x11?1?eikr；?2?e?ikr。15、由下列定态波函数计算几率流密度（1）（2）
rr答：jx?从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
?????1??1? 解：J1和J2只有r分量，在球坐标中：??r0 ?e??e??rr??rsin????i?**(?1??1??1??1) （1）J1?2mi?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rri?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r0 2mrrrrrr?k??k? ?r?r203mrmr??? J1与r同向。表示向外传播的球面波。
?i?**(?2??2??2??) （2）J2?2mi?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr??[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rri?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r0 2mrrrrrr?k??k? ??2r0??3rmrmr??可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
16、写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算在球坐标系中粒子质量为m的波函数分布为 （1）?1?r,?,???1exp?in??，n为整数 2?1 （2）?2?r,?,???exp?ikr?， k为常数
r1 （3）?2?r,?,???exp??ikr?，k为常数
r时的几率密度和几率流密度，并根据结果说明粒子的运动情况。
???dd?j?ds???j?0 解：几率守恒的积分形式：??d??? 微分形式：??sdtdt?2 几率密度：????r,t?
?i???*??????*??Im??*??? 几率流密度：j???2mm11 ?2（1）几率密度：????r,t???*??exp??in??exp?in???2?2?几率流密度： 在球坐标系中????1??1??er?e??e? ?rr??rsin??????1??11???1exp??in???er?e??e??exp?in???rr??rsin???2???2?
11???1in???exp??in??e??exp?in????e?rsin????2?2??2?rsin???n??e? 故j?Im??*????m2?mrsin??*???由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿?方向，与r，?有关，因此此粒子绕z轴作圆周运动，但几率流密度是量子化的
11?2（2）几率密度：????r,t???*??2exp??ikr?exp?ikr??2
rr几率流密度：
???1??1???1er?e??e??exp?ikr?r??rsin????r??r
1???1??1ik???exp??ikr?er?exp?ikr?????3?2?err?r?r??rr???k??故j?Im??*????2er 由此可知此粒子运动为向外传播的球面波
mmr??k??（3）同理几率密度不变，而几率流密度为j?Im??*?????2er，即粒
mmr?*???exp??ikr??1r子运动为向内传播的球面波。
17、设体系处于?(x,t)态，试求：（1）几率密度 ?(x,t)??；（2）几率流密度 j(x,t)??；（3）证明：
???j??。 ?t?x解：（1）?(x,t)??(x,t) （2）j(x,t)??i?*dd[?(x,t)?(x,t)??(x,t)?*(x,t) 2mdxdx2d???(x,t)??**??(x,t)?? （3）dt?t?t22px1*px1*?(???V??)?(??*?V*?*?) （因V?V*） i?2mi?2m ?补充题：
i??*d??j(x,t)(?????*)?? 2m?xdx?x?x1、已知t =0时自由粒子的波函数为?(x,0)?Acoskx，求?(x,t)，并分析该粒子动量的可能取值及相应的几率。
2、t=0时一维自由粒子波函数为?(x,0)?cos2k0x?sink0x，写出任意t时刻波函数?(x,t)，并分析该粒子动量p的可能取值及相应的几率。式中k0为大于零的常数。