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第十四章：勾股定理
§14.1勾股定理 一． 知识点：
1. 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a＋b＝c，这种关系我们称为勾股定理．（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦） 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．
2. 直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形。
222222二．学习过程：
1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 3. 讲下关于勾股定理的史话。
三．例题及习题：
教材中的题目。
§14.2 勾股定理的应用 一． 知识点：
1. 能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。
二．学习过程：
1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：
教材中的题目。
勾股定理经典例题
1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.
2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的
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一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.
△ABC中 ∠C＝Rt∠?a2＋b2=c2
3．为了计算方便，要熟记几组勾股数： ①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17； ⑤9、40、41. 4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说，在平面几何中，经常
利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： （1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形；
5．勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
k2?1k2?1
② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
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?K??K?③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ???1,???1是一组勾股数。
?2??2?④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
典型例题分析
例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____
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依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d 则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4
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例2 已知线段a，求作线段5a
分析一：5a＝5a2＝4a2?a2 ∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a＝9a?4a2
∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略）
例3 如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。
(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？
(3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
分析：
(1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。
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所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3 (2)类似于(1)：S1+S2=S3
(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3 ∴S阴影=S△ABC
例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之
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和为507cm，试求最大的正方形的边长。
分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴
从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)
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∴最大的正方形的边长为13cm
例5 图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9
(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b，
则
将正方形EFGH的边长三等分，使
顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的 ，只要剪去△ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。
二、要学会用方程观点解题
例6. 已知：如图7，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。
分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。
由已知，可得
，因此欲求EF，只要求AF的长。
设AF=x，则FC=x，BF=4-x
只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程 x2-(4-x)2=9，问题就可以解决
例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a ∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。 这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是 设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则 a=x-1，c=x+1 ∵c2-a2=b2 ∴(x+1)2-(x-1)2=x2 即4x=x2，又∵x>0， ∴只有x=4 4 尤新教育辅导学校 ∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12 例8. 已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积。 分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD 若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值 问题就能解决 例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA10的长； (3)求出 的值。 答案 (1) 例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD,求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 则c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AAD2＝c2-m2=b2-n2 bc∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) CB mDn(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC 例11 .已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝ 2b,且SEFGH＝ 求：b?a的值 3 5