2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第十一章《概率统计》
一、选择题（共11题） 1．（安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为
1234 B． C． D． 77773解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方．．
A．
体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得
24，故C。 C832．（福建卷）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A.
2339 B. C. D. 78728解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概
13C32C5?C32率等于P?=，选A。
C8373．（湖北卷）甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B
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4．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法
【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)+(y-10)=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出x?y，设x=10+t, y=10-t, x?y?2t?4，选D 5．（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到（A）
4148 （B） （C） （D） 453615152
2
号源在同一个串联线
信号源 左端的六个接线点随组，再把所有六组中信号的概率是
【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题. 【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有
22C62?C4?C2?153A3种
111C2?C1?8种结果，这五个接收器能同时接结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C4?收到信号的概率是
8，选D 15
【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已
6．（江西卷）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）
5454 B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p= 2121212122C37C4C2解：选A，a＝＝105，甲、乙分在同一组的方法种数有
2！A． a=105 p=
22C15C4C2（1） 若甲、乙分在3人组，有＝15种
2！（2） 若甲、乙分在2人组，有C35＝10种，故共有25种，所以P＝
255＝ 105217．（江西卷）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
1234C4C8C12C16Ａ． 10C40
21342314C4C8C12C16C4C8C12C16Ｂ． Ｃ． 1010C40C401342C4C8C12C16Ｄ． 10C40解：依题意，各层次数量之比为4?3?2?1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，故选A 8．（四川卷）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为
19353841 （B） （C） （D） 54545460解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。所有的三位数有3A10?A92?648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，
（A）
36，9，0}，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A3?12个；
3?A32?18个；③ 若三组各取一个数字，第② 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A41113112?C3?C3?A3?162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C3?C3?2?A2?36个，这样能三组中不取0，有C3被3 整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为
42035=，选B。 648549．（四川卷）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生
（A）30人，30人，30人 （B）30人，45人，15人 （C）20人，30人，10人 （D）30人，50人，10人
解析：甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.
10．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 （D）50
解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在?56.5,64.5?的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.
11．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （A）2 （B）3 （C）5 （D）13
解：各层次之比为：30?75?195＝2?5?13，所抽取的中型商店数是5，故选C 二、填空题（共9题） 12．（福建卷）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛
11111111C3C3?C3C3?CCC2C21333?P(??1)??，掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则P(??0)?，1111C6C64C6C69111C2C1?C11C21P(??2)??， 11C6C6911C1C11244P(??4)?11?，∴ E?????. 1C6C6369936913．（湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概
率为 。（精确到0．01）
332445解：P＝C5＝0.94 ?（0.80）（?0.20）＋C5?（0.80）?0.20＋（0.80）14．（湖南卷）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是
40?90?50?81?85分.
90频率/组距15．（全国II）一个社会调查机构就某地居民
0.0005的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了
0.0004样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 0.0003从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作
0.0002进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人． 0.0001解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有10000?0.0005?500?2500人
月收入（元）100按分层抽样应抽出2500??25人
10000100015002000250030003500400016．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×
10=150 人。 16017．(上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
1?P4种方法；2) 剩下的一套全排列，有P4种方法；所以，解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有C21C2P4P41?； 所求概率为：
P83518．(上海卷)在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到
的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名
C8214都是女同学的概率是P?2?.
C123319．（四川卷）设离散型随机变量?可能取的值为1，2，3，4。P(??k)?ak?b（k?1，2，3，4）。又?的数学期望E??3，则a?b? ;
解：设离散性随机变量?可能取的值为1,2,3,4,P???k??ak?b?k?1,2,3,4?，所以
0?b?4(a?b)?(2a?b)?(3a?b)?(4a?b)?1，即1a(a?b)?2(a?2b?)a3?(b3?，又?的数学期望E??3，则
?10b?3，a?)，即a?30ba?11,b?0,∴ a?b?.
101020．（上海春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺
序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1,a2,?,an 满足a1?a2???an，则
（结论用数学式子表示）. 解：如果在有限数列
中，按顺序去掉一些高分
； 如果在有限数列
，那么有不等关系
，与
，那么有不等关系 中，按顺序去掉一些低分 ．从而应填
．
三、解答题（共27题） 21．（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用?表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 （Ⅰ）写出?的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求?的数学期望E?。（要求写出计算过程或说明道理） 解：（Ⅰ）
? P
（Ⅱ）E??1?1 2 3 4 5 6 7 8 9 112232211 151515151515151515112232221?2??3??4??5??6??7??8??9??5 15151515151515151522．（安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙
膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 （Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率； 解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)?2。 15（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故
P(B)?1?(1113?)?。 C62C621523．（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） 解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c
（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ABC＋ABC＋ABC＋ABC，设其概率为P1，则P1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc
______111ab＋ac＋bc 333111222（2）P1－P2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc
33333322＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕?0 33设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2＝
?P1?P2即用方案一的概率大于用方案二的概率. 24．（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率； (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，
则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
来源:Zxxk.Com] p1=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
111P(A·B)+P(B·C)+ P(A·C) 33311 =×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=×1.29=0.43
3325．（福建卷）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).
p2=
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)?答：抛掷2次，向上的数不同的概率为.
（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。
?向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种，
6?55?. 6?6656?P(B)?55?. 6?6365. 368 9 10 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
26．（广东卷）某运动员射击一次所得环数X的分布如下： X
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