行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
解(1.) ??0,1,2,3
21122C3218CC?CC4C1C9243324P( ??0)=2?2?????? P( ??1 )=4 2222C5C510050C5C5C5C5501112212C3?C2C4C4C2C4C2152P(??2)?2????P(??3)???
C5C52C52C5250C52C5250所以?的分布列为
? 0 1 2 3 249152 P 50505050924152?的数学期望E(?)=0??1??2??3??1.2
5050505015217(2)P(??2)=P(??2)?P(??3)? ??505050本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大 37．（全国II）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 解：设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1； Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2； （1）依题意所求的概率为
1112C32C4C3?C2C412?2?2?2?P ?i?P(A1?B0)?P(A0?B1)?P(A1)P(B0)?P(A0)P(B1)2C5C5C5C5252C32127C4?1?2?2??(2)解法一：所求的概率为P2?1?P(A0?B0)?P 1C5C52550解法二：所求的概率为
P2?P(A1?B1)?P(A0?B2)?P(A1?B2)?P(A1)P(B1)?P(A0)P(B2)?P(A1)P(B2)
1112212C3?C2C4C4C2C4C217?2?????? C5C52C52C52C52C525038．（山东卷）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用?表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量?的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
3111C5?C2?C2?C22?则P(A)? 3C103解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记
121C5?C2?C8112?为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)?，所以P(A)?1?P(B)?1??. 3C10333（II）由题意?有可能的取值为：2，3，4，5.
21122112C2?C2?C2?C2C4?C2?C4?C212P(??2)??;P(??3)??; 33C1030C1015
112112C62?C2?C6?C2C82?C2?C8?C238P(??4)??;P(??5)??; 33C1010C1015所以随机变量?的概率分布为 ? 2 3 4 5 P 因此?的数学期望为 1 302 15310来源:Zxxk.Com]8 15E??2?123813?3??4??5?? 3015101532313 ??151030（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)?P(\??3\或\??4\?P(\??3\?P(\??4\?39．（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率. 解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意
1221C2C6?C2C69P(A)??
C8314（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则
21C2C63P(B)?? 3C828（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题
121C4C3C63? 意，C与D是对立事件，因为 P(D)?3C8734所以 P(C)?1?P(D)?1??.
77121
40．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是3, 5 , 2 .
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
解: (Ⅰ)记\甲投篮1次投进\为事件A1 ， \乙投篮1次投进\为事件A2 ， \丙投篮1次投进\为事件A3， \人都没有投
121
进\为事件A ． 则 P(A1)= 3， P(A2)= 5， P(A3)= 2， ∴ P(A) = P(A1.A2.A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)
1211
= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－3)(1－5)(1－2)=5 1
∴3人都没有投进的概率为5 ．
2
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， 5)， 23－26
P(ξ=k)=C3k(5)k(5)3k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3×5 = 5 ． 解法二: ξ的概率分布为:
ξ 0 1 2 3
2754368P 125 125 125 125 27543686
Eξ=0×125 +1×125 +2×125 +3×125 = 5 ．
211
41．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是5, 2, 3.现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
解: (Ⅰ)记\甲投进\为事件A1 ， \乙投进\为事件A2 ， \丙投进\为事件A3，
211
则 P(A1)= 5， P(A2)= 2， P(A3)= 3，
2133
∴ P(A1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = 5 ×2 ×5= 25 3
∴3人都投进的概率为25 (Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进\为事件B P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P()
21321321319
=(1－5)×2 ×5 + 5×(1－2)×5 + 5×2 ×(1－5) = 50
19
∴3人中恰有2人投进的概率为50 42．（四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。 解：记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记Ai为Ai的对
立事件，i?1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件
B3；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件
?? ?P?AAA??P?AAA??P?AAA??P?AAA?
解法1：P?C??PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
123123123123 ?0.9?0.8?0.3?0.9?0.2?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.8?0.7 ?0.902
解法2：P?C??1?PC?1?PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
123123123123???1??P?AAA??P?AAA??P?AAA??P?AAA??
???1?0.098?0.902
来源学|科|网][来源学科网Z.X.X.K]???1??0.1?0.2?0.3?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.1?0.2?0.7?
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D
P?D??P???A1?B1???A2?B2???A3?B3???
?P?A1?B1??P?A2?B2??P?A3?B3?
?P?A1??P?B1??P?A2??P?B2??P?A3??P?B3?
?0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9
?0.254016 ?0.254
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254
43．（天津卷）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
3，且各次射击的结果互不影响。 5（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量?表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求?的分布列．
本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力.满分12分 解：（Ⅰ）记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
33223333363P ?????????1?P(A?A?A)?P(A?A?A)?P(A?A?A)?555555555125323162（Ⅱ）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率p2?C32?()2???
555625（Ⅲ）由题设，“??k”的概率为
32323P(??k)?Ck?12?()2?()k?3??Ck?12?()k?3?()3（k?N*且k?3）
55555所以，?的分布列为： ? 3 4 k ? ? 2716223 P C2k?1()k?3()3 ? ? 1256255544．（天津卷）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）． 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。 解：（I）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
P3(2)?C32?0.92?0.1?0.243. （II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取
甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
P(A.B)?P(A.B)?P(A.B)?0.9?0.95?0.9?0.05?0.1?0.95?0.995.
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
1?P(A.B)?1?0.1?0.05?0.995.
45．（浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
3，求n. 4本题主要考察排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。
22C2C2111?. 解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件A.P(A)?2?2??C4C561060（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意，得
2112CnC21?Cn12n2C2?C2C231??2?2?P(B)?1??. P(B1)?22C4Cn?2C4Cn?23(n?2n)(?44;
1)
22CnC2n(n?1)P(B2)?2?2?;
C4Cn?26(n?2)(n?1)2n2n(n?1)1?所以P(B)?P(B1)?P(B2)??，
3(n?2)(n?1)6(n?2)(n?1)42化简，得7n?11n?6?0,
3解得n?2，或n??（舍去），
7故 n?2.
46．(重庆卷)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
1，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求： 3（Ⅰ）随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）随机变量ξ的期望.
解：（1）?的所有可能值为0，1，2，3，4，5。由等可能性事件的概率公式得
1C5?24802532P(??0)?5?. P(??1)?.3243352433C52?2380C5?2240?. P(??3)?? P(??2)? 5532433243C54?21011P(??4)?5? P(??5)?5?32433243从而，?的分布列为
? P 0 1 2 3 4 5 32 24380 24380 24340 24310 2431 243（II）由（I）得?的期望为 3280?1??2?243243
4055 ??2433E??0?概率依次为
80??324340??424310??52431
24347．(重庆卷)甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的
111、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： 632（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为：p?()3?()3?()3? （Ⅱ）这是n=3，p=
1613121. 61的独立重复试验，故所求概率为： 652125 P(2)?C()()?. 336672