0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为?. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求?的分布列
解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为P(7)?0.2?0.2?0.04；
P (Ⅱ) ?的可能取值为7、8、9、10
P(??7)?0.04 P(??8)?2?0.2?0.3?0.32?0.21 P(??9)?2?0.2?0.3?2?0.3?0.3?0.32?0.39
P(??10)?2?0.2?0.2?2?0.3?0.2?2?0.3?0.2?0.22?0.36
?分布列为
? P 0.04 0.21 0.39 0.36 7 8 9 10 (Ⅲ) ?的数学希望为E??7?0.04?8?0.21?9?0.39?10?0.36?9.07.
27．（湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表?(x0)?P(x?x0)
x0 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 2 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为?，因为?～N(70，100)，由条件知， P(?≥90)＝1－P（?<90）＝1－F(90)＝1－?(90?70)＝1－?(2)＝1－0.9772＝0.228. 10这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为
12≈526（人）。
0.0228x?7050x?70＝0.0951，即?()＝)1052610（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(?≥x)＝1－P（? x?70≈1.31，解得x＝83.1. 10故设奖得分数线约为83.1分。 28．（湖北卷）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的 1，且该组中，4青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有 x?40%?3xbx?10%?xc3?47.5%,?4x4xb=50%,c=10%. 10，解得%故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％。 （Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为200??40%?60（人）；抽取的中年人数为 3433；抽取的老年人数为200??10％＝15（人）。 200??50％＝75（人） 4429．（湖南卷）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 2所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P1?C5?(1?0.5)2?0.53?5?0.31. 16（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数?服从二项分布B(5,0.5).从而?的数学期望是 E?＝5?0.5?2.5，即平均有2.50家煤矿必须整改. (Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2?(1?0.5)?(1?0.8)?0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P3?1?0.95?0.41 30．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令?表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求： （1）?的分布列 （2）?的的数学期望 解:(1)?的所有可能的取值为0,10,20,50,60. 9729P(??0)?()3?;10100019918243P(??10)??()2??2?;10101010100011818 P(??20)??2?;10101000919P(??50)??2?;1010100011P(??60)??;3101000分布列为 ? P 0 10 20 50 60 1891729243 100010001000100010007292431891(2)E??0??10??20??50??60??3.3(元) 1000100010001000100031．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球， 记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 9?9??9?解:（1）P???????; 110?10??10?231?9?1?1?918118262（2）方法一：P2? ?????????2??2?10?10?10?10?101010101000119119262方法二：P2? ?2????2???10101010101010009?1199?262方法三：P2?1???? ????10?10101010?100032．（辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分 22111、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是p(0?p?1),设乙项目623产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为?,对乙项目每投资十万元, ?取0、1、 别为 2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量?1、?2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求?1、?2的概率分布和数学期望E?1、E?2; (II) 当E?1?E?2时,求p的取值范围. 【解析】(I)解法1: ?1的概率分布为 ?1 P 1.2 1.18 1.17 1 61 21 3111+1.18?+1.17?=1.18. 623由题设得?~B(2,p),则?的概率分布为 E?1=1.2? ? P 故?2的概率分布为 0 1 2 (1?p)2 2p(1?p) 1.3 1.25 p2 0.2 ? P 所以?2的数学期望为 22(1?p)2 2p(1?p) 2p2 E?2=1.3?(1?p)+1.25?2p(1?p)+0.2?p=?p?0.1p?1.3. 解法2: ?1的概率分布为 ?1 P E?1=1.2?1.2 1.18 1.17 1 61 21 3111+1.18?+1.17?=1.18. 623设Ai表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则 P(?=0)= P(A1)P(A2)?(1?p)2; P(?=1)=P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?2p(1?p); P(?=2)=P(A1)P(A2)?p2 故?2的概率分布为 ? P 所以?2的数学期望为 221.3 1.25 0.2 (1?p)2 2p(1?p) 2p2 E?2=1.3?(1?p)+1.25?2p(1?p)+0.2?p=?p?0.1p?1.3. (II) 由E?1?E?2,得: ?p2?0.1p?1.3?1.18?(p?0.4)(p?0.3)?0??0.4?p?0.3 因0 【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力. 33．（辽宁卷）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 1?0.6?0.4?0.48 解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C2乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C2?0.6?0.4?0.48 故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 P?0.48?0.48?0.2304 （Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.4?0.0256, 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 P?1?0.0256?0.9744 1解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C4?0.6?0.4?0.1536 222甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C4?0.6?0.4?0.3456 14222甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C4?0.6?0.4?0.3456 甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为0.64?0.1296 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 P?0.1536?0.3456?0.3456?0.1296?0.9744 34．（全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，用?表示这3个试验组中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望。 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\ 124224111 依题意有: P(A1)=2×3×3 = 9, P(A2)=3 ×3 = 9 . P(B0)=2 ×2 = 4, 111 P(B1)=2×2 ×2 = 2 , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2) 1414144= 4×9 + 4×9 + 2×9 = 9 4512545100 (Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,9) . P(ξ=0)=(9)3= 729 , P(ξ=1)=C31×9×(9)2=243, 4580464 P(ξ=2)=C32×(9)2×9 = 243 , P(ξ=3)=( 9)3= 729 ξ的分布列为: P ξ 0 1 2 3 21，服用B有效的概率为。 321251008064729 243 243 729 35．（全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\ 124224111 依题意有: P(A1)=2×3×3 = 9, P(A2)=3 ×3 = 9 . P(B0)=2 ×2 = 4, 111 P(B1)=2×2 ×2 = 2 , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2) 1414144= 4×9 + 4×9 + 2×9 = 9 4604 (Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－9)3= 729 36．（全国II）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进 21，服用B有效的概率为。 32