三、矩阵的相似
?1b?b????b1???1、设a2?0，0?b?1，证明n阶矩阵A?a2?的最大特征值为????b???b?b1???a2(1?(n?1)b)．
?A2、已知n阶实对称矩阵A的n个特征值为?1,?2,?,?n，求矩阵B???0?0??的特征值． A??
3、每行每列只有一个元素为1，其余元素都为零的方阵叫做排列矩阵，证明n阶排列矩阵的特征值都是单位根．
4、设A?ee?，其中e是分量全为1的n维向量，求 (1) A的特征多项式与最小多项式． (2) A的特征值与特征向量．
5、设?是复n阶矩阵A的一个特征值，?是复n向量，若?,A?,?,An?1?线性无关，则A的属于特征值?0的线性无关的特征向量只有一个．
6、设A?(aij)n?n，若?aij?1(i?1,2,?,n)，0?aij?1(i,j?1,2,?,n)，则称A为随机矩
j?1n阵，证明
(1) 1是随机矩阵A的一个特征值．
(2) 设?是n阶随机矩阵A?(aij)n?n的特征值，证明??1．
?A,j?i7、设A1,A2,A3是非零的三阶矩阵，若AiAj??i．
0,j?i?证明(1)Ai的特征值只有1或0，i?1,2,3．
(2) i?j时，Ai的属于特征值1的特征向量是Aj的属于特征值0的特征向量. (3) 若?1,?2,?3分别是A1,A2,A3的属于特征值1的特征向量，则?1,?2,?3线性无关．
8、设A,B是n阶矩阵，证明
(1) 若A?0，R(A)?R(A?E)?n，则1是A的一个特征值． (2) 若A2?E，A的特征值全为1，则A?E (3) 若A2?B2?E，A?B?0，证明A?B?0．
9、设?是n阶矩阵B的特征值，若A,A?B?AB都正定，证明??1．
10、设A,B为n阶矩阵，?0为AB,BA的非零的公共特征值，证明
（1）若A,B有公共特征值，则方程组fA(B)X?0和fB(A)X?0都有非零解；
（2）若?0为AB,BA的非零的公共特征值，则AB,BA的属于特征值?0的特征子空间的维数相等．
11、设A,B为n阶复矩阵，若fA(?)的根互不相同，则A的和特征向量也是B的特征向量当且仅当AB?BA．
12、设三阶阵A的特征值为1,-1,2，B?A3?5A2，求B的特征值和B．
13、设A是n阶矩阵，
(1) 若Am?0，证明A?2E?2n．
(2) 若Am?0，证明对于任意正整数k，都有Tr(Ak)?0．
(3) 若A的特征值全为实数，且E?A的特征值的绝对值小于1，则0?A?2n．
?1ab????1?i3A?0?c14、设，求A100及A?1． ??，其中??2?00?2???
15、若n阶矩阵A的特征值全为实数，且A的一、二阶主子式之和全为零，则An?0．
??1?26???16、设A???103?，求线性空间V?{f(A)f(x)?P[x]}的维数与一组基．
??1?14???
?n0?0???10?0??17、证明元素全为1的n阶矩阵A与B??相似．
????????10?0???
18、已知矩阵A与
?101???B??012?
??23?2???相似，求3A?1?A2．
19、设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)是非零的n维列向量，????0，令A????， (1) 求A2．
(2) 求A的所有特征值与特征向量． (3) 说明A是否与对角和矩阵相似．
20、设A是方阵，证明
(1) 若A?0，但Ak?0，则A不可对角化． (2) 若Ak?E，则A可对角化．
21、设n阶矩阵满足A2?3A?E，证明A可对角化，并写出相应的对角矩阵．
22、设n阶矩阵满足A2?3A?2E?0，证明A可以对角化，并求可逆矩阵使P?1AP为对角矩阵．
?E23、求A???E?E??的相似标准形，其中E为n阶单位矩阵． 0??