15、设A是秩为r的实对称矩阵，则A是半正定矩阵的一个充分必要条件是，有r个线性无关的实n维向量?1,?2,?,?r使A???i??i．
i?1r
16、若n阶正定矩阵A也是正交矩阵，则A是单位矩阵．
17、设A?(aij)为n阶正定阵，则 (1) A≤a11a22?ann，
(2) aij?aiiajj，i,j?1,2,?,n，i?j， (3) A中绝对值最大的元素必在对角线上．
18、设A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，则 (1) A?B?A， (2) A?B?A?B?0．
19、设A是n阶可逆实对称矩阵，B是n阶实反对称矩阵，且AB?BA，则A?B是可逆矩阵．
20、三阶实对称矩阵A的行和为3，??(?1,2,?1)?，??(0,?1,1)?是方程组AX?0的两个解，
(1) 求A的特征值与特向量．
(2) 求正交矩阵Q使Q?AQ为对角矩阵．
21、四阶实对称矩阵A的特征值为-3和1(三重)，属于特征值1的三个线性无关的特征向量为
?1?(1,1,0,0)?，?2?(1,0,1,0)?，?3?(?1,0,0,1)?，
(1) 求A的属于特征值-3的一个特征向量； (2) 求矩阵A．
22、设?1,?2,?,?n是n阶实对称矩阵A的正交单位特征向量，对应的特征值依次为
?1,?2,?,?n，则A???i?i?i?．
i?1n
23、设A是n阶实可逆矩阵，则有正交矩阵P,Q使PAQ?diag(?1,?2,?,?n)，其中?i?0，
i?1,2,?,n．
24、设a?bi是n阶实矩阵的一个特征值，A?A?的特征值为?1??2????n，证明
?1?2a??n．
25、设n阶矩阵A,B,A?B正定，问A2?B2是否正定？
26、设A是n阶正定矩阵，则有唯一的正定矩阵B使A?B2．
27、设A为n阶正定矩阵，B为n阶实反对称矩阵，证明A?D?A．
28、设A,B是实矩阵，且A是正定矩阵，若AB?BA?0，则B?0．
29、设A?(aij)和B?(bij)都是n阶正定矩阵，证明：?aijbij?0．
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