24、若三阶方阵A,B,C,D有相同的特征多项式，则其中必有两个相似．
25、设A是n级复矩阵，g(x)是复多项式，证明g(A)可逆当且仅当(g(x),fA(x))?1．
26、求复数域上矩阵方程X3?E3的全部解．
27、设A,B是n阶复矩阵，A2?A，B2?B，若AB?BA，且，则有可逆矩阵T使T?1AT，
T?1BT都为对角矩阵．
28、设?,?是实的n维单位列向量，A????，若????0，证明 (1) ?是矩阵A????的一个特征向量；
(2) 矩阵E?A可逆．
29、设n阶实矩阵A,B的特征值全是正实数，若A2?B2，则A?B．
30、设n阶矩阵A满足An?0，则对于任意正整数k都有Ak?0．
31、 设矩阵A的秩为3，特征多项式为?4，求A,A2的若当标准形．
四、矩阵的合同
1、设A是n阶实对称矩阵，求A与?A合同的条件．
?15??x???(x,y)A2、设A??，求使?516??y???0的所有非零整数x,y． ????
3、设3是矩阵
?a??1A??0??0?100??200?，
001??010??的一个特征值，求可逆矩阵P，使(AP)?(AP)为对角矩阵．
4、设A?(aij)n?n，B是n阶实对称矩阵，
?12?n?1?(1) 若A?0，而An?1?A??12?n?1???0，求非退化线性替换X?CY，将二次型
??X?AX化成?aijyiyj．
i,j?1n?1(2) 若A可逆，求二次型f(x1,x2,?,xn)?0?XX?A的矩阵．
(3) 若A可逆，A的正惯性指数p满足0?p?n，求三个非零向量X1,X2,X3，使
?AX3?0． ?AX1?0，X2?AX2?0，X3X1(4) 若B可逆，X?AX,X?BX可以经同一个非退化线性替换X?CY化成标准形，求
A??B的根．
(5) 存在n阶非零对称矩阵D使AD?0的充分必要条件是A?0． (6) 若对任意n维实的非零向量?，都有??A??0，则有A?0．
5、设A,B为n阶实对称方阵，且A可逆，A?1B有n个互异的特征根，则存在可逆矩阵P，使P?AP，P?BP为对角阵．
6、设n元实二次型f?X?AX的正负惯性指数分别为p,q，证明Rn可以分解为三个两两正交的子空间V1,V2,V3的直和，其中V1,V2,V3的维数分别为p,q,n?p?q，且???V1，??0，
有f(?)?0；???V2，??0，有f(?)?0；???V3，有f(?)?0．
7、设A，B是n级实对称矩阵， (1) 若A与B相似，则A与B合同? (2) 若A与B等价，则A与B合同？
(3) 若对于任意一组全不为零的实数c1,c2,?,cn都有f(c1,c2,?,cn)?0，则f是正定二次型？
(4) A正定?A的对角元全大于零？ (5) 若A?A?正定，则A是可逆矩阵？
8、a,b满足什么条件时，n元实二次型f?a?x?b?xjxn?j?1是正定的．
2ii?1j?1nn
9、设是n阶实对称矩阵，
(1) 若A满足A3?3A2?5A?3E?0，A是否是正定？ (2) A2?5A?7E是否正定？
10、若n元实二次型X?AX仅当X?0时才为零，则A不是正定的就是负定的．
11、当a1,a2,?,an满足什么关系时，n元实二次型
f?(x1?a1x2)2?(x2?a2x3)2???(xn?1?an?1xn)2?(xn?anx1)2 是正定的．
12、设A?(aij)n?n为n级正定矩阵，证明
(1) 若B是秩为m的n?m实矩阵，则B?AB正定．
(2) 令B?diag(a11,a22,?,ann)?，则B?AB是正定矩阵． (3) 设b1,b2,?,bn都是非零实数，证明B?(aijbibj)n?n是正定矩阵．
?A???1?? (4) B??正定的充分必要条件是a??A?． ???a???(5) 若B为n级正定矩阵，C是方程AX?XA?B的的唯一解，则C是正定矩阵．
14、已知矩阵A,B,A?B正定，证明B?1?A?1是正定矩阵．